Srebrny prostokąt, powiązany z l.P.
Liczby Pella – liczby naturalne opisane przez następujący wzór rekurencyjny:
![{\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{gdy }}n=0;\\1&{\mbox{gdy }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\text{gdy }}n>1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db0e28c91c32832505409fe378b3224798a7591a)
- Pierwsze wyrazy ciągu liczb Pella to:
- 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378...
-ty wyraz tego ciągu da się również obliczyć ze wzoru:
![{\displaystyle P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d81043dc5f64024a31dd279ca5f7ea2c49368b9)
- Istnieje także wzór macierzowy:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef0cb0cdb7c7fc4a64ede65c289a229964d904f)
- Granica ilorazu dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa odwrotności srebrnej liczby, tzn.
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n}}{P_{n+1}}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b96c71c75a9732aae569250bf1d1e2a1804239a)
- Suma odwrotności liczb Pella (dla
) jest zbieżna do pierwiastka z dwóch, tzn.
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{n}}}={\sqrt {2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec1dbdfeb1f3944e3658047a600b16c351ebd5a9)
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pell Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-07-02].
pojęcia definiujące | ciągi ogólne | |
---|
ciągi liczbowe | |
---|
|
---|
typy ciągów | |
---|
przykłady ciągów liczb naturalnych | |
---|
inne przykłady ciągów liczb | |
---|
twierdzenia | |
---|
powiązane pojęcia | |
---|