Szereg geometryczny – szereg postaci
∑ n = 1 ∞ a q n − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}\;{}} gdzie a , q ∈ R {\displaystyle {}\;a,q\in \mathbb {R} } a {\displaystyle a} jest pierwszym wyrazem szeregu geometrycznego, a q {\displaystyle q} – ilorazem szeregu geometrycznego .
n {\displaystyle n} -tą sumą częściową jest suma pierwszych n {\displaystyle n} wyrazów szeregu:
S n = a + a q + … + a q n − 1 = ∑ k = 1 n a q k − 1 , n ∈ N . {\displaystyle S_{n}=a+aq+\ldots +aq^{n-1}=\sum _{k=1}^{n}aq^{k-1},\quad n\in \mathbb {N} .} Wartość n {\displaystyle n} -tej sumy częściowej jest równa:
S n = a 1 − q n 1 − q {\displaystyle S_{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}} dla q ≠ 1 , {\displaystyle q\neq 1,} S n = n a {\displaystyle S_{n}=na} dla q = 1. {\displaystyle q=1.} Dowód. Niech q ≠ 1. {\displaystyle q\neq 1.} Wzór jest prawdziwy dla n = 1 , {\displaystyle n=1,} bowiem S 1 = a = a 1 − q 1 1 − q . {\displaystyle S_{1}=a=a{\frac {1-q^{1}}{1-q}}.} Załóżmy indukcyjnie , że wzór jest prawdziwy dla n . {\displaystyle n.} Wówczas
S n + 1 = S n + a q n = ∗ a 1 − q n 1 − q + a q n = a 1 − q n 1 − q + a q n 1 − q 1 − q = a 1 − q n + q n − q n + 1 1 − q = a 1 − q n + 1 1 − q . {\displaystyle S_{n+1}=S_{n}+aq^{n}\ \ {\stackrel {*}{=}}\ \ a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+aq^{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+aq^{n}{\frac {1-q}{1-q}}=a{\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}}=a{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.} W równości oznaczonej gwiazdką „*” wykorzystaliśmy założenie indukcyjne S n = a 1 − q n 1 − q . {\displaystyle S_{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.} Na mocy twierdzenia o indukcji matematycznej otrzymujemy prawdziwość wzoru dla dowolnego n ∈ N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .}
Jeśli q = 1 , {\displaystyle q=1,} to wszystkie wyrazy szeregu ∑ n = 1 ∞ a q n − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}} są równe a {\displaystyle a} i n {\displaystyle n} -ta suma częściowa ma postać
S n = a + a + … + a ⏟ n = n a . {\displaystyle S_{n}=\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}=na.} Szereg geometryczny ∑ n = 1 ∞ a q n − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}} jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy | q | < 1 {\displaystyle |q|<1} lub a = 0. {\displaystyle a=0.} Wówczas suma szeregu dana jest wzorem ∑ n = 1 ∞ a q n − 1 = a 1 − q . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}={\frac {a}{1-q}}.}
Dowód.
Jeśli | q | < 1 , {\displaystyle |q|<1,} to lim n → ∞ S n = lim n → ∞ a 1 − q n 1 − q = a 1 − q , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}={\frac {a}{1-q}},} gdyż q n → 0. {\displaystyle q^{n}\to 0.} Jeśli a = 0 , {\displaystyle a=0,} to dla każdego n {\displaystyle n} zachodzi: a n = 0 , {\displaystyle a_{n}=0,} więc S n = 0 , {\displaystyle S_{n}=0,} a zatem lim n → ∞ S n = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=0.} Od teraz załóżmy, że a ≠ 0. {\displaystyle a\neq 0.}
Jeśli | q | > 1 , {\displaystyle |q|>1,} to | a q n a q n − 1 | = | q | > 1 {\displaystyle {\Bigg |}{\frac {aq^{n}}{aq^{n-1}}}{\Bigg |}=|q|>1} i na mocy kryterium d’Alemberta szereg ∑ n = 1 ∞ a q n − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}} jest rozbieżny. Jeśli q = 1 , {\displaystyle q=1,} to lim n → ∞ S n = lim n → ∞ a n = ∞ . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }an=\infty .} Jeśli q = − 1 , {\displaystyle q=-1,} to wyraz ogólny szeregu ∑ n = 1 ∞ a q n − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}} jest postaci a ( − 1 ) n − 1 . {\displaystyle a(-1)^{n-1}.} Zatem ∑ n = 1 ∞ a q n − 1 = a − a + a − a + a − a + … {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}=a-a+a-a+a-a+\ldots } Stąd S n = a , {\displaystyle S_{n}=a,} gdy liczba n {\displaystyle n} jest nieparzysta oraz S n = 0 , {\displaystyle S_{n}=0,} gdy liczba n {\displaystyle n} jest parzysta. Zatem granica lim n → ∞ S n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}} nie istnieje. Diagram obrazujący sumę szeregu geometrycznego 1 + 1/2 + 1/4 + \dots równą 2 W nieskończonym szeregu geometrycznym
1 + 1 2 + 1 4 + … = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n . {\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}.} iloraz q {\displaystyle q} jest równy 1 2 , {\displaystyle {\frac {1}{2}},} zaś a 1 = 1. {\displaystyle a_{1}=1.} Wobec tego zgodnie z powyższym twierdzeniem
∑ n = 0 ∞ 1 2 n = 1 1 − 1 2 = 2. {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=2.} Wynik ten obrazuje załączona grafika.
pojęcia definiujące ciągi ogólne ciągi liczbowe
typy ciągów przykłady ciągów liczb naturalnych inne przykłady ciągów liczb twierdzenia powiązane pojęcia