Metoda Monte Carlo – Wikipedia, wolna encyklopedia

Metoda Monte Carlo (MC) – metoda stosowana do modelowania matematycznego procesów zbyt złożonych (obliczania całek, łańcuchów procesów statystycznych), aby można było przewidzieć ich wyniki za pomocą podejścia analitycznego. Istotną rolę w tej metodzie odgrywa losowanie (wybór przypadkowy) wielkości charakteryzujących proces, przy czym losowanie dokonywane jest zgodnie z rozkładem, który musi być znany.

Typowym przykładem może być modelowanie wyniku zderzenia cząstki o wysokiej energii z jądrem złożonym, gdzie każdy akt zderzenia elementarnego (z pojedynczym nukleonem jądra) modelowany jest oddzielnie poprzez losowanie liczby, rodzaju, kąta emisji, energii itp. cząstek wtórnych emitowanych w wyniku takiego zderzenia. Następnym etapem jest modelowanie losu każdej z cząstek wtórnych (w wyniku kolejnego losowania prawdopodobieństwa oddziaływania lub wyjścia z jądra). Kontynuując taką procedurę, można otrzymać pełny opis „sztucznie generowanego” procesu złożonego. Po zebraniu dostatecznie dużej liczby takich informacji można zestawić ich charakterystyki z obserwowanymi wynikami doświadczalnymi, potwierdzając lub negując słuszność poczynionych w całej procedurze założeń.

Metoda została opracowana i pierwszy raz zastosowana przez Stanisława Ulama.

Metodą Monte Carlo można obliczyć pole figury zdefiniowanej nierównością:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leqslant R^{2},}$

czyli koła o promieniu ${\displaystyle R}$ i środku w punkcie (0,0).

1. Losuje się ${\displaystyle n}$ punktów z opisanego na tym kole kwadratu – dla koła o ${\displaystyle R=1}$ współrzędne wierzchołków (−1,−1), (−1,1), (1,1), (1,−1).
2. Po wylosowaniu każdego z tych punktów trzeba sprawdzić czy jego współrzędne spełniają powyższą nierówność (tj. czy punkt należy do koła).

Wynikiem losowania jest informacja, że z ${\displaystyle n}$ wszystkich prób ${\displaystyle k}$ było trafionych, zatem pole koła wynosi:

${\displaystyle P_{k}=P\ {\frac {k}{n}},}$

gdzie ${\displaystyle P}$ jest polem kwadratu opisanego na tym kole (dla ${\displaystyle R=1{:}}$ ${\displaystyle P=4}$).

Dokładność wyniku uzyskanego tą metodą jest zależna od liczby sprawdzeń i jakości użytego generatora liczb pseudolosowych. Zwiększanie liczby prób nie zawsze zwiększa dokładność wyniku, ponieważ generator liczb pseudolosowych ma skończenie wiele liczb losowych w cyklu. Przykładowo całkowanie tą metodą jest używane w przypadkach, kiedy szybkość otrzymania wyniku jest ważniejsza od jego dokładności (np. obliczenia inżynierskie).

Poprawność metody Monte Carlo w przypadku obliczania pól lub całek można udowodnić, stosując twierdzenie Picka (lub jego wielowymiarowe uogólnienia) do najlepszego wielokąta wpisanego w figurę, której pole chcemy obliczyć w przybliżeniu tzw. kryształu wirtualnego, tzn. regularnej siatki punktów o stałej sieci równej średniej odległości między wylosowanymi punktami. W nieskończonej granicy tych wielokątów i siatek metoda jest dokładna dla dowolnego kształtu.

Metoda bywa stosowana również w biznesie, a szczególnie w zarządzaniu projektami do zarządzania ryzykiem. Pozwala ocenić przy jakim czasie trwania projektu lub wysokości budżetu, osiągnie się określony poziom ryzykowności^[1].

#include <iostream> #include <random>  using std::cout; using std::cin; using std::endl;  int main() {     // Generator liczb losowych     std::mt19937 gen{std::random_device{}()};     // Rozklad jednorodny na przedziale -1.0 do 1.0     std::uniform_real_distribution<double> losuj{-1., 1.};      int punktow_w_kwadracie = 0;// Liczba punktow w kwadracie     int punktow_w_kole = 0;     // Liczba punktow w kole      // Liczby punktow mozemy przyjac jako dyskretna forme pola powierzchni,     // stad, im wiecej punktow zalozymy, tym lepsza dokladnosc liczby pi      cout << "Podaj liczbe losowanych punktow: ";     cin >> punktow_w_kwadracie;      double x, y;     for(int i{0}; i < punktow_w_kwadracie; ++i)     {         x = losuj(gen);         y = losuj(gen);          // Sprawdzamy czy wylosowany punkt o wspolrzednych (x, y)         // znajduje sie w kole o wzorze x^2 + y^2 <= 1         // Wzor ten okresla kolo wpisane w kwadrat na przedziale         // x i y = <-1, 1>          if(x*x + y*y <= 1)         {             // Akceptujemy punkty w kole             ++punktow_w_kole;         }     }      // Wiemy, ze pole powierzchni kola wpisanego w kwadrat o boku 2     // wynosi dokladnie pi. Stosunek pola tego kola do kwadratu to     // pi/4. A wiec aby uzyskac przyblizenie liczby pi wystarczy     // policzyc stosunek punktow_w_kole do punktow_w_kwadracie razy 4      cout << "Liczba punktow w kole = " << punktow_w_kole << endl;     cout << "Liczba punktow w kwadracie = " << punktow_w_kwadracie << endl;     double _PI_ = 4. * punktow_w_kole / punktow_w_kwadracie;     cout << "Szukana liczba pi = " << _PI_ << endl; } 

• sekwencyjna metoda Monte Carlo

• Metropolis, N. (1987). „The beginning of the Monte Carlo method”. Los Alamos Science (1987 Wydanie specjalne dedykowane Stanisławowi Ulamowi): s. 125–130.