Rozkład hipergeometryczny – Wikipedia, wolna encyklopedia
Parametry |
|
---|---|
Nośnik |
|
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa |
|
Wartość oczekiwana (średnia) |
|
Moda |
|
Wariancja |
|
Współczynnik skośności |
|
Kurtoza |
|
Funkcja tworząca momenty |
|
Funkcja charakterystyczna |
|
Rozkład hipergeometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa związany z tzw. schematem urnowym.
Zmienna losowa o tym rozkładzie określa prawdopodobieństwo uzyskania sukcesów (-krotnego wylosowania obiektu mającego określoną cechę) w -elementowej próbie, czyli pojedynczych próbkowaniach bez zwracania z populacji o skończonej wielkości , w której znajduje się dokładnie obiektów mających tę cechę. W każdym pojedynczym próbkowaniu może nastąpić albo sukces, albo porażka[1].
Niekiedy spotyka się inny sposób sformułowania, np. zamiast (wielkości całej populacji) parametrem jest (liczba obiektów niemających określonej cechy w populacji)[2].
Funkcja masy prawdopodobieństwa
[edytuj | edytuj kod]Zmienna losowa ma rozkład hipergeometryczny, gdy funkcja masy prawdopodobieństwa (pmf) jest dana wzorem[3]
gdzie
- to wielkość populacji,
- to liczba sukcesów (obiektów, które mają określoną cechę) w tej populacji,
- to liczba pojedynczych losowań (wielkość pobieranej próbki),
- to liczba sukcesów zaobserwowanych w próbce,
- to symbol Newtona.
Wzór ten stosuje się dla k, takich że. Poza tym przedziałem prawdopodobieństwa wynoszą zero.
Przykład
[edytuj | edytuj kod]W grze Lotto uczestnik kupuje zakład, w ramach którego typuje, które z 49 liczb zostaną wylosowane w losowaniu odbywającym się w określonym terminie. W pojedynczym losowaniu losuje się 6 liczb. W pojedynczym zakładzie uczestnik typuje również 6 liczb. Zmienna określająca, ile z wytypowanych w tym zakładzie liczb zostanie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami , , . Prawdopodobieństwo prawidłowego wytypowania wszystkich sześciu liczb (trafienia szóstki) wynosi więc:
zaś prawdopodobieństwo uzyskania trójki (prawidłowego wytypowania dokładnie trzech liczb) wynosi:
Jeżeli uczestnik gra systemem i typuje 8 liczb (co jest równoważne z zakupem odpowiedniej liczby powiązanych zakładów), zmienna określająca, ile z wytypowanych liczb będzie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami , , . W takiej sytuacji prawdopodobieństwo uzyskania szóstki wynosi:
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Jacek Jakubowski , Rafał Sztencel , Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wyd. 2 popr., rozsz., (dodr.), Warszawa: "Script", 2001, s. 16, ISBN 978-83-904564-5-4 .
- ↑ R: The Hypergeometric distribution [online], search.r-project.org [dostęp 2024-06-19] .
- ↑ John A. Rice: Mathematical Statistics and Data Analysis. Wyd. Third. Duxbury Press, 2007, s. 42.