Subróżniczka – Wikipedia, wolna encyklopedia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Subderivative_illustration.png/220px-Subderivative_illustration.png)
Subróżniczka, subgradient, subpochodna (podróżniczka, podgradient, podpochodna) – pojęcia pojawiające się w analizie wypukłej, czyli badaniu funkcji wypukłych, często w powiązaniu z optymalizacją wypukłą.
Motywacja
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych określoną na przedziale otwartym prostej rzeczywistej. Taka funkcja nie musi być różniczkowalna w każdym punkcie: przykładowo funkcja wartości bezwzględnej określona wzorem jest nieróżniczkowalna dla Jednakże, jak widać na rysunku po prawej, dla każdego należącego do dziedziny można nakreślić prostą przechodzącą przez punkt która w każdym punkcie albo jest styczna, albo leży poniżej wykresu Właśnie nachylenie tej prostej nazywane jest podpochodną (gdyż prosta leży pod wykresem).
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Subpochodną funkcji wypukłej w punkcie należącym do przedziału otwartego nazywa się taką liczbę rzeczywistą że
dla każdego należącego do Można pokazać, że zbiór podpochodnych w punkcie jest niepustym przedziałem domkniętym gdzie oraz oznaczają granice jednostronne
oraz
które zawsze istnieją i spełniają
Zbiór wszystkich podpochodnych nazywa się subróżniczką funkcji w punkcie
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]Niech dana będzie funkcja wypukła Jej subróżniczką w początku układu jest przedział subróżniczka w dowolnym punkcie jest równa zbiorowi jednoelementowemu zaś w punktach jest nią zbiór
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Funkcja wypukła jest różniczkowalna w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jej subróżniczka składa się tylko z jednego punktu, który jest pochodną w
- Punkt jest minimum globalnym funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy zero zawiera się w subróżniczce, tzn. na powyższym rysunku można nakreślić tylko poziomą „podstyczną” do wykresu w punkcie Własność ta jest uogólnieniem faktu, że pochodna funkcji różniczkowalnej zeruje się w minimum lokalnym.
Subgradient
[edytuj | edytuj kod]- Zobacz też:
Pojęcia subpochodnej i subróżniczki mogą być uogólnione na funkcje wielu zmiennych. Jeżeli jest funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych określoną na wypukłym podzbiorze otwartym przestrzeni euklidesowej to wektor tej przestrzeni nazywa się subgradientem w punkcie należącym do jeśli dla każdego z zachodzi
gdzie mnożenie po prawej oznacza iloczyn skalarny.
Zbiór wszystkich subgradientów w nazywa się subróżniczką w i oznacza symbolem Subróżniczka jest zawsze niepustym, wypukłym zbiorem zwartym (tzn. domkniętym i ograniczonym).
Pojęcia te uogólniają się dalej na funkcje wypukłe określone na podzbiorze wypukłym przestrzeni lokalnie wypukłej Funkcjonał należący do przestrzeni sprzężonej nazywa się subgradientem w należącym do jeżeli
Zbiór wszystkich subgradientów w punkcie nazywa się subróżniczką w i także oznacza symbolem Subróżniczka zawsze jest wypukłym zbiorem domkniętym. Zbiór ten może być pusty: przykładem może być operator nieograniczony, który jest wypukły, lecz nie ma subgradientu. Jeśli jest ciągła, to subróżniczka nie jest pusta.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal: Fundamentals of Convex Analysis. Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.