Twierdzenie Rolle’a – Wikipedia, wolna encyklopedia

Ilustracja twierdzenia

Twierdzenie Rolle’atwierdzenie klasycznej analizy matematycznej mówiące, że funkcja różniczkowalna przyjmująca równe wartości w dwóch różnych punktach ma pomiędzy nimi punkt stacjonarny, tzn. punkt, w którym nachylenie prostej stycznej do wykresu funkcji względem osi OX jest równe zeru[1].

Jest to najprostszy przypadek twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej, a przez to – twierdzenia Cauchy’ego. Jest używane m.in. w dowodzie reguły znaków Kartezjusza[2].

Wersja standardowa

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie ciągłą funkcją rzeczywistą określoną na przedziale domkniętym różniczkowalną na przedziale otwartym Wówczas jeżeli to istnieje taki punkt należący do przedziału otwartego że

[3].

Z tej wersji twierdzenia Rolle’a korzysta się przy dowodzie twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej, którego twierdzenie Rolle’a jest przypadkiem szczególnym.

Dowód

[edytuj | edytuj kod]
Wizualizacja twierdzenia

Jeżeli to dla każdego Gdy nie jest tożsamościowo równa stałej, to istnieje taki punkt dla którego zachodzi

lub

Przypuśćmy, że zachodzi pierwszy przypadek, tzn. dla pewnego argumentu wartość funkcji jest większa od rozumowanie w drugim przypadku jest analogiczne (wówczas trzeba rozważać wartość najmniejszą zamiast największej).

Określona na przedziale zwartym funkcja ciągła na mocy twierdzenia Weierstrassa przyjmuje wartość największą, tzn. istnieje taki punkt że

dla

Z założenia, że istnieje wartość większa od wynika, że tzn. Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum globalnego funkcji w jest znikanie pochodnej w tym punkcie, co dowodzi tezy.

Historia

[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie to – w innej postaci niż ta standardowa – znał w 1150 roku indyjski matematyk Bhaskaraćarja[potrzebny przypis]. W 1691 roku francuski matematyk Michel Rolle opublikował je w szczególnym przypadku dotyczącym wielomianów[3]. Zostało nazwane na jego cześć najpóźniej w XIX wieku; nazwiskiem Rolle’a określił je w 1834 roku Moritz Wilhelm Drobisch[4].

Uogólnienia

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie rzeczywistą liczbą dodatnią, a wtedy Punkt można zapisać jako gdzie

Przy takich oznaczeniach twierdzenie Rolle’a ma postać:

Jeśli
to istnieje punkt dla którego

Rezygnacja z warunku czyli prowadzi do ogólniejszego twierdzenia Lagrange’a:

Istnieje taki punkt który spełnia tożsamość

Z kolei dalekim uogólnieniem twierdzenia Lagrange’a jest twierdzenie Taylora mówiące, że:

Istnieje taki punkt dla którego zachodzi:
gdzie o funkcji zakłada się, by była razy różniczkowalna.

Twierdzenie Rolle’a uzyskuje się z niego przyjmując

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Rolle’a twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-30].
  2. Michał Tarnowski, Reguła znaków Kartezjusza, „Delta”, czerwiec 2023, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-06-05].
  3. a b Fichtenholz 1999 ↓, s. 195.
  4. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Jeff Miller, Rolle’s theorem [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (R) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-06-6].

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]