George Gabriel Stokes (1819–1903) Twierdzenie Stokesa – twierdzenie mówiące, że cyrkulacja pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze gładkim jest równa strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w teorii pól . Używane jest w mechanice płynów , równaniach Maxwella i wielu innych. Twierdzenia Greena i Ostrogradskiego-Gaussa można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa[1] .
Twierdzenie Stoksa ma źródła w pracach Ampère'a z 1826 roku. W jego standardowej postaci została opracowana przez Williama Thomsona jeszcze przed 1850 rokiem i przekazana G. G. Stokesowi , który opublikował je jako problem w egzaminach nagrody Smitha (inne języki) w 1854 roku. Nie jest wiadome, czy ktoś rozwiązał problem, ale jednym z uczestników był Maxwell , to właśnie on uzyskał informacje, że Stokes otrzymał twierdzenie od Thomsona. Pierwszy dowód twierdzenia został opublikowany przez Hermanna Hankela (inne języki) w 1861[1] .
Twierdzenie Stokesa w przestrzeni R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} [ edytuj | edytuj kod ] Jeżeli Σ {\displaystyle \Sigma } jest płatem powierzchni w R 3 , {\displaystyle \mathbb {R} ^{3},} a ∂ Σ {\displaystyle \partial \Sigma } jego gładkim, zorientowanym dodatnio konturem, to dla dowolnego pola wektorowego F : = P i → + Q j → + R k → , {\displaystyle F\colon =P{\vec {i}}+Q{\vec {j}}+R{\vec {k}},} (gdzie F ∈ C 1 ( Σ ¯ ) {\displaystyle F\in C^{1}({\bar {\Sigma }})} ) mamy[2] :
∮ ∂ Σ F → d ( ∂ Σ → ) = ∬ Σ rot F → d Σ → . {\displaystyle \oint \limits _{\,\partial \Sigma }{\vec {F}}d({\vec {\partial \Sigma }})=\iint \limits _{\Sigma }\operatorname {rot} {\vec {F}}d{\vec {\Sigma }}.} Niech Σ = { r ( s , t ) , ( s , t ) ∈ D } , {\displaystyle \Sigma =\{r(s,t),\,(s,t)\in D\},} gdzie r ( s , t ) = ( x ( s , t ) , y ( s , t ) , z ( s , t ) ) {\displaystyle r(s,t)=(x(s,t),\,y(s,t),\,z(s,t))} oraz r ( D ) = Σ . {\displaystyle r(D)=\Sigma .} Wówczas, wykorzystując regułę łańcuchową oraz wzór na całkę krzywoliniową (tu krzywą jest r ( s , t ) {\displaystyle r(s,t)} ), otrzymujemy równość:
∮ ∂ Σ P d x = ∮ ∂ D ( P ∘ r ) ( x s ′ d s + x t ′ d t ) . {\displaystyle \oint \limits _{\,\partial \Sigma }Pdx=\oint \limits _{\partial D}(P\circ r)(x'_{s}ds+x'_{t}dt).} (Analogiczne wzory zachodzą dla składowych Q {\displaystyle Q} i R {\displaystyle R} ).
A więc z twierdzenia Greena mamy:
∮ ∂ Σ P d x = ∬ D ( ∂ ∂ s ( ( P ∘ r ) x t ′ ) − ∂ ∂ t ( ( P ∘ r ) x s ′ ) ) d s d t . {\displaystyle \oint \limits _{\,\partial \Sigma }Pdx=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial }{\partial s}}((P\circ r)x'_{t})-{\frac {\partial }{\partial t}}((P\circ r)x'_{s})\right)ds\,dt.} Po prawej stronie powyższej równości stosujemy wzór na pochodną iloczynu oraz regułę łańcuchową i otrzymujemy:
∮ ∂ Σ P d x = ∬ D ( ∂ P ∂ y ( x t ′ y s ′ − x s ′ y t ′ ) + ∂ P ∂ z ( x t ′ z s ′ − x s ′ z t ′ ) ) d s d t . {\displaystyle \oint \limits _{\,\partial \Sigma }Pdx=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial y}}(x'_{t}y'_{s}-x'_{s}y'_{t})+{\frac {\partial P}{\partial z}}(x'_{t}z'_{s}-x'_{s}z'_{t})\right)ds\,dt.} Gdy przeprowadzimy analogiczne rozumowania dla składowych Q {\displaystyle Q} i R {\displaystyle R} i wyniki zsumujemy, otrzymamy:
∮ ∂ Σ F → d ( ∂ Σ → ) = ∬ D ( rot F ( s , t ) ) ∘ n → ( s , t ) d s d t , {\displaystyle \oint \limits _{\,\partial \Sigma }{\vec {F}}d({\vec {\partial \Sigma }})=\iint \limits _{D}(\operatorname {rot} F(s,t))\circ {\vec {n}}(s,t)ds\,dt,} gdzie n → ( s , t ) = r s ′ × r t ′ . {\displaystyle {\vec {n}}(s,t)=r'_{s}\times r'_{t}.}
Jednak prawa strona powyższego równanie jest strumieniem pola wektorowego rot F {\displaystyle \operatorname {rot} F} przez płat Σ . {\displaystyle \Sigma .} Co daje tezę.
Twierdzenie Stokesa można wypowiedzieć najogólniej dla n {\displaystyle n} -wymiarowych powierzchni gładkich.
Załóżmy, że H ⊆ R N {\displaystyle H\subseteq \mathbb {R} ^{N}} jest orientowalną powierzchnią gładką, K ⊆ H {\displaystyle K\subseteq H} jest zbiorem zwartym oraz K = c l I n t K {\displaystyle K=\operatorname {cl\,Int} K} oraz że brzeg F r K {\displaystyle \mathrm {Fr} K} jest ( M − 1 ) {\displaystyle (M\!-\!1)} -wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli W ⊆ R N {\displaystyle W\subseteq \mathbb {R} ^{N}} jest zbiorem otwartym zawierającym powierzchnię H , {\displaystyle H,} Ω : W → S M − 1 ( R N , R ) {\displaystyle \Omega \colon W\to S^{M-1}(\mathbb {R} ^{N},\mathbb {R} )} jest formą klasy C 1 , {\displaystyle C^{1},} a σ {\displaystyle \sigma } jest orientacją powierzchni H , {\displaystyle H,} to
∫ [ K ] σ d Ω = ∫ [ F r K ] σ F r Ω , {\displaystyle {}\,\int \limits _{[K]_{\sigma }}d\Omega =\int \limits _{[\mathrm {Fr} K]_{\sigma ^{\mathrm {Fr} }}}\Omega ,} gdzie orientacja σ F r {\displaystyle \sigma ^{\rm {Fr}}} powierzchni F r K {\displaystyle \mathrm {Fr} K} dana jest wzorem
σ F r ( y ) = { ( a 1 , … , a M − 1 ) ∈ B ( F r K ) y : ( z ( y ) , a 1 , … , a M − 1 ) ∈ σ ( y ) } {\displaystyle \sigma ^{\mathrm {Fr} }(y)=\{(a_{1},\dots ,a_{M-1})\in B_{(\mathrm {Fr} K)_{y}}\colon \,(z(y),a_{1},\dots ,a_{M-1})\in \sigma (y)\}} dla y ∈ F r K , {\displaystyle y\in \mathrm {Fr} K,} a
z : F r K → R N {\displaystyle z\colon \mathrm {Fr} K\to \mathbb {R} ^{N}} jest taką funkcją, że z ( y ) {\displaystyle z(y)} jest wektorem zewnętrznym do zbioru K {\displaystyle K} w punkcie y , {\displaystyle y,} | z ( y ) | = 1 , {\displaystyle |z(y)|=1,} z ( y ) {\displaystyle z(y)} jest wektorem normalnym do powierzchni F r K {\displaystyle \mathrm {Fr} K} w punkcie y {\displaystyle y} dla każdego y ∈ F r K . {\displaystyle y\in \mathrm {Fr} K.}
Załóżmy, że W ⊆ R N {\displaystyle W\subseteq \mathbb {R} ^{N}} jest zbiorem otwartym, K ⊆ W {\displaystyle K\subseteq W} zbiorem zwartym, który jest równy domknięciu swojego wnętrza oraz takim, brzeg F r K {\displaystyle \mathrm {Fr} K} jest ( N − 1 ) {\displaystyle (N\!-\!1)} -wymiarową powierzchnią gładką oraz
z : F r K → R N {\displaystyle z\colon \mathrm {Fr} K\to \mathbb {R} ^{N}} jest funkcją o własnościach
z ( y ) {\displaystyle z(y)} jest wektorem zewnętrznym do K {\displaystyle K} w punkcie y , {\displaystyle y,} | z ( y ) | = 1 , {\displaystyle |z(y)|=1,} z ( y ) {\displaystyle z(y)} jest wektorem normalnym do F r K {\displaystyle \mathrm {Fr} K} w punkcie y {\displaystyle y} leżącym na brzegu F r K . {\displaystyle \mathrm {Fr} K.} Jeżeli ω : W → R N {\displaystyle \omega \colon W\to \mathbb {R} ^{N}} jest funkcją klasy C 1 , {\displaystyle C^{1},} to
∫ F r ( K ) ω ( y ) z ( y ) μ F r ( d y ) = ∫ K div ω ( y ) d y , {\displaystyle {}\,\int \limits _{\mathrm {Fr} (K)}\omega (y)z(y)\mu _{\mathrm {Fr} }(dy)=\int \limits _{K}\operatorname {div} \omega (y)dy,} gdzie div {\displaystyle \operatorname {div} } oznacza operator dywergencji .
Załóżmy, że W ⊆ R 2 {\displaystyle W\subseteq \mathbb {R} ^{2}} jest zbiorem otwartym, K ⊂ W {\displaystyle K\subset W} jest zbiorem zwartym takim, że K = c l I n t K {\displaystyle K=\operatorname {cl\,Int} K} oraz brzeg F r K {\displaystyle \mathrm {Fr} K} jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto
s : F r K → R 2 {\displaystyle s\colon \mathrm {Fr} K\to \mathbb {R} ^{2}} jest funkcją o własnościach
s ( y ) {\displaystyle s(y)} jest wektorem stycznym do krzywej F r K {\displaystyle \mathrm {Fr} K} w punkcie y , {\displaystyle y,} | s ( y ) | = 1 , {\displaystyle |s(y)|=1,} det [ z ( y ) , s ( y ) ] > 0. {\displaystyle \det[z(y),s(y)]>0.} gdzie z ( y ) {\displaystyle z(y)} jest funkcją taką jak w poprzednim twierdzeniu (przy N = 2 {\displaystyle N=2} ). Jeżeli ω = ( ω 1 , ω 2 ) : W → R 2 {\displaystyle \omega =(\omega _{1},\omega _{2})\colon W\to \mathbb {R} ^{2}} jest funkcją klasy C 1 , {\displaystyle C^{1},} to
∫ F r ( K ) ω ( y ) s ( y ) μ F r ( d y ) = ∫ K ( ω 2 | 1 ( y ) − ω 1 | 2 ( y ) ) d y . {\displaystyle {}\,\int \limits _{\mathrm {Fr} (K)}\omega (y)s(y)\mu _{\mathrm {Fr} }(dy)=\int \limits _{K}(\omega _{2|1}(y)-\omega _{1|2}(y))dy.}