Cardinais regulares e singulares – Wikipédia, a enciclopédia livre

Em matemática, especialmente em teoria de conjuntos, um cardinal é denominado regular se ele é igual a sua própria cofinalidade. Caso contrário, é dito singular.[1]

Definições e exemplos

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Se abreviarmos cofinalidade de como , podemos generalizar a definição acima para ordinais dizendo que é regular se e singular se , pois vale para todo ordinal.[2] De maneira equivalente, podemos definir que um cardinal é singular se resulta da união de uma quantidade menor que de conjuntos cada um dos quais tem também cardinalidade menor que :

[3]

Por exemplo, é singular pois:

[4]

ou seja, é a união de conjuntos, cada um dos quais tem cardinalidade menor que .

Por outro lado, é regular, pois .[5] Além disso, a união de uma quantidade finita de conjuntos finitos é um conjunto finito.[6]

Cardinais regulares e o axioma da escolha

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Na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, denominada ZFC, pode ser demonstrado que a união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável[7] e portanto é regular. Sem o axioma da escolha, [5] (que implica que é singular) é consistente com ZF, se ZF é consistente.

Em ZFC é demonstrado que todo cardinal da forma (denominado cardinal sucessor) é regular.[8] Um cardinal infinito que não é sucessor é denominado cardinal limite e em temos que ou é um ordinal limite.[9] Em ZFC não pode ser demonstrada a existência de cardinais limites regulares diferentes de ,[10] se ZFC é consistente.[11]

Referências

  • Hrbacek, Karen; Jech, Thomas (1999). Introduction to set theory (em inglês) 3a. ed. New York: Marcel Dekker 
  • Jech, Thomas (1999). «About the Axiom of Choice». In: Barwise, Jon. Handbook of mathematical logic (em inglês). Amsterdam: Elsevier. p. 345−370 
  • Jech, Thomas (2006). Set theory (em inglês) 3a. ed. Berlin: Springer. ISBN 3-540-44085-2 
  • Kunen, Kenneth (1980). Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 
  • Levy, Azriel (2002). Basic set theory (em inglês). Mineola, New York: Dover