Cofinalidade – Wikipédia, a enciclopédia livre
Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em teoria dos conjuntos, a cofinalidade de um conjunto parcialmente ordenado (A, ≤), cf(A), é o menor dos cardinais dos conjuntos parcialmente ordenados cofinais com (A, ≤) [1]. Dado um conjunto parcialmente ordenado (A, ≤), diz-se que um subconjunto B de A, B⊆A, é cofinal com A (com a ordem anterior restrita a B) se para cada a∈A existe um b∈B tal que a≤b[2]. O conceito de cofinalidade foi introduzido por Felix Hausdorff em 1908[3].
Cofinalidade de ordinais
[editar | editar código-fonte]Seja um ordinal limite. Uma sequência crescente , com ordinal limite é dita cofinal com se [4].
De maneira similar, a cofinalidade pode ser definida para um ordinal limite como um ordinal limite :
[4].
Exemplos
[editar | editar código-fonte]O conjunto dos números naturais, é cofinal com o conjunto dos números reais, , com a ordem usual desses conjuntos, pois para cada número real , existe um número natural , tal que . Da mesma maneira, o conjunto dos números racionais, , também é cofinal com e todos esses conjuntos tem cofinalidade .
O ordinal tem cofinalidade , cf()=, pois segundo a definição geral, é cofinal com e . Considerando a cofinalidade de ordinais, existe a
De maneira análoga, , pois
Propriedades
[editar | editar código-fonte]A cofinalidade tem as seguintes propriedades:
Deste último obtemos:
Referências
- ↑ Jech [2006] , p. 461.
- ↑ a b Ibid.
- ↑ Hausdorff [1908] , p. 440.
- ↑ a b Jech [2006] , p. 31.
- ↑ Kunen (1980), p. 33.
- ↑ Jech (2006), p. 33.
- ↑ KUNEN (1980), p. 34.
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- HAUSDORFF, F. (1908). «Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen». Mathematische Annalen (em alemão). 65 (4): 435−505
- JECH, Thomas (2006). Set theory (em inglês) 3a. ed. Berlin: Springer. ISBN 3-540-44085-2
- KUNEN, Kenneth (1980). Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-86839-9