Constante de Gauss – Wikipédia, a enciclopédia livre
Em matemática, a constante de Gauss, denotada pela letra G, é definida como o inverso da média aritmética-geométrica de 1 e raiz quadrada de dois:[1][2][3][4]
O epónimo dessa constante é o matemático alemão Carl Friedrich Gauss, porque, em 30 de maio de 1799, descobriu que:[5][6][7][8]
sendo que:
donde B denota a função beta de Euler.
Relações com outras constantes
[editar | editar código-fonte]A Constante de Gauss pode ser expressa usando o valor da função beta em (1/4, 1/2):
ou novamente, graças ao valor da função gama em 1/4:
e como π e Γ(1/4) são algebricamente independentes, a Constante de Gauss é transcendental.
Constantes de Lemniscata
[editar | editar código-fonte]A Constante de Gauss também pode ser usada na definição das Constantes de Lemniscata.
- A primeira constante é:
- A segunda constante é:
que surgem em problemas de cálculo de comprimento do arco de uma lemniscata.
Outras fórmulas
[editar | editar código-fonte]A Constante de Gauss também pode ser expressa usando a função teta de Jacobi:
- .
Uma série rapidamente convergente para a Constante de Gauss é:
- .
A constante também é dada por um produto infinito:
- .
A Constante de Gauss tem fração contínua [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, …][nota 2]
Notas
Referências
- ↑ Gourdon (2020), p. 190.
- ↑ Weisstein, Eric W. «Constante de Gauss». MathWorld (em inglês) Parâmetro desconhecido
|nom_url=
ignorado (ajuda); Parâmetro desconhecido|titre=
ignorado (|titulo=
) sugerido (ajuda). - ↑ Eymard & Lafond (1956).
- ↑ Keith B. Oldham; Jan C. Myland; Jerome Spanier (2009). An Atlas of Functions With Equator (em inglês). New York, NY: Springer. p. 15. ISBN 978-0-387-48806-6.
- ↑ Barnett (2020), p. 47.
- ↑ Cox (1984), p. 281.
- ↑ Khelif (2010).
- ↑ Borwein & Bailey (2008).
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- Janet Barnett (2020). A Gaussian tale for the classroom editor=Maria Zack et Dirk Schlimm (éd.). Col: Proceedings of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics / Société canadienne d'histoire et de philosophie des mathématiques (em inglês) 1 ed. Basel, Suíça: Birkhäuser Verlag. pp. 139–155. ISBN 978-3-030-31196-4. OCLC 1240212492. doi:10.1007/978-3-030-31298-5
- Jonathan Borwein; David H. Bailey (2008). Mathematics by experiment (em inglês) 2 ed. Flórida, EUA: CRC Press. ISBN 978-1-56881-442-1. OCLC 494547277. doi:10.1201/b10704
- David A. Cox (1984). «The arithmetic-geometric mean of Gauss» (pdf). L'Enseignement mathématique. 2 (em inglês): 275-330. OCLC 937363834. doi:10.5169/seals-53831.
- Pierre Eymard; Jean-Pierre Lafon (1956). «Le Journal mathématique de Gauss» (pdf). Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1 (em francês): 21-51. JSTOR 23904695. OCLC 4649261821. doi:10.3406/rhs.1956.4346.
- Xavier Gourdon (2020). Analyse (em francês). Paris: Éditions Ellipses. ISBN 978-2-340-03856-1. OCLC 1160201780.
- Hamza Khelif (30 de junho de 2010). «Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli». Images des mathématiques (em francês). Centre national de la recherche scientifique.