A equação de Riccati, cujo nome é uma homenagem ao Conde Jacopo Francesco Riccati, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:
![{\displaystyle {dy \over dx}=a(x)+b(x)y+c(x)y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e010e52f191f8d5cdf9efbf8eef6b3cc628b77c0)
onde
,
e
são três funções que dependem de
.[1]
Se conhecermos uma solução particular da equação, por exemplo
, a seguinte mudança de variável transformará a equação em equação linear
![{\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{v}}\qquad \Longrightarrow \qquad {dy \over dx}={dy_{1} \over dx}-{\frac {1}{v^{2}}}{dv \over dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af116603c3564547381065da3221fe97529619f4)
Encontre a solução geral da seguinte equação sabendo que
é solução particular
![{\displaystyle y'=e^{x}y^{2}-y+e^{-x},\qquad y_{1}(x)=-e^{-x}\cot x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e95d4e0ca162939bf9067e1522ffb38884c84dc)
Trata-se de uma equação de Riccati e para a resolver usamos a seguinte substituição
![{\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{v}}\qquad \Longrightarrow \qquad y'=y_{1}'-{\frac {v'}{v^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b30a8efe8fe348ebc4b5fb63b177878d8a63016)
É conveniente não substituir
pela função dada, já que o fato desta ser solução da equação simplificará os resultados. Substituindo na equação de Riccati obtemos[1]
![{\displaystyle y_{1}'-{\frac {v'}{v^{2}}}=e^{x}\left(y_{1}^{2}+2{\frac {y_{1}}{v}}+{\frac {1}{v^{2}}}\right)-y_{1}-{\frac {1}{v}}+e^{-x}\qquad \Rightarrow \qquad v^{2}\left(y_{1}'-e^{x}y_{1}^{2}+y_{1}-e^{-x}\right)=v'+\left(2y_{1}e^{x}-1\right)v+e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a5d26fb43ad833ec6b88119093733c8714aa85b)
Como
é solução, o termo nos parênteses no lado esquerdo é zero e obtém-se a seguinte equação linear para
![{\displaystyle v'-(2\cot x+1)v=-e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3e395af37a28b195d9e2e80d0e261c4792abf4)
O fator integrante desta equação linear é
![{\displaystyle \mu (x)=\exp \int (-1-2\cot x)dx=\exp \left[-x-2\ln(\sin x)\right]={\frac {e^{-x}}{\sin ^{2}x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f5bcc08b356f717ebd48ebff57da886b2d351c)
Multiplicando os dois lados da equação linear por
e seguindo os passos explicados na seção sobre equações lineares
A solução geral está constituída por esta última família de funções, junto com a solução particular
Referências