Geometria discreta – Wikipédia, a enciclopédia livre

Geometria discreta e geometria combinatória são ramos da geometria que estudam propriedades combinatórias e métodos construtivos de objetos geométricos discretos . A maioria dos problemas em geometria discreta envolvem conjuntos discretos e conjuntos finitos de objetos geométricos básicos, tais como pontos, linhas, planos, círculos, esferas, polígonos, e assim por diante. O assunto se concentra nas propriedades combinatórias desses objetos, como como eles se cruzam ou como eles podem ser organizados para cobrir um objeto maior.

A geometria discreta tem uma grande sobreposição com geometria convexa e geometria computacional e está intimamente relacionada a assuntos como geometria finita, otimização combinatória, geometria digital, geometria diferencial discreta, teoria de geométrica de gráficos, geometria tórica e topologia combinatória .

Embora poliedros e mosaicos tenham sido estudados por muitos anos por pessoas como Kepler e Cauchy, a geometria discreta moderna tem suas origens no final do século XIX. Os primeiros tópicos estudados foram: a densidade de embalagens circulares de Thue, configurações projetivas de Reye e Steinitz, a geometria dos números de Minkowski e as cores dos mapas de Tait, Heawood e Hadwiger .

László Fejes Tóth, HSM Coxeter e Paul Erdős, lançaram as bases da geometria discreta .^[1][2][3]

Um polítopo é um objeto geométrico com lados planos que existe em qualquer número de dimensões. Um polígono é um polítopo em duas dimensões, um poliedro em três dimensões, e assim por diante em mais dimensões (como um polítopo 4 em quatro dimensões ). Algumas teorias generalizam ainda mais a ideia de incluir objetos como polítopos ilimitados ( apeirotopos e pavimentações ) e polítopos abstratos .

A seguir, são apresentados alguns dos aspectos dos polítopos estudados em geometria discreta:

• Combinações poliédricas
• Polítopos de treliça
• Polinômios de Ehrhart
• Teorema de Pick
• Conjectura de Hirsch

Embalagens, coberturas e inclinações são formas de organizar objetos uniformes (normalmente círculos, esferas ou ladrilhos) de maneira regular em uma superfície ou coletor .

Um empacotamento de esferas é um arranjo de esferas não sobrepostas dentro de um espaço contido. As esferas consideradas são geralmente todas de tamanho idêntico, e o espaço geralmente é um espaço euclidiano tridimensional . No entanto, problemas de empacotamento de esferas podem ser generalizados para considerar esferas desiguais,em um espaço euclidiano n- dimensional (onde o problema se torna empacotamento circular em duas dimensões ou empacotamento hiperesférico em dimensões mais altas) ou espaços não-euclidianos, como espaço hiperbólico .

Um mosaico de uma superfície plana é o lado a lado de um plano usando uma ou mais formas geométricas, chamados ladrilhos, sem sobreposições e sem espaços. Em matemática, os mosaicos podem ser generalizados para dimensões superiores.

Os tópicos específicos nesta área incluem:

• Empacotamento de círculos
• Empacotamento de esferas
• Conjectura de Kepler
• Quase-cristal
• Inclinações aperiódicas
• Gráfico periódico
• Regras de subdivisão finita

A rigidez estrutural é uma teoria combinatória para prever a flexibilidade de conjuntos formados por corpos rígidos conectados por articulações ou dobradiças flexíveis.

Os tópicos nesta área incluem:

• Teorema de Cauchy sobre poliedros
• Poliedros flexíveis

As estruturas de incidência generalizam planos (como os planos afins, projetivos e Möbius), como pode ser visto em suas definições axiomáticas. As estruturas de incidência também generalizam os análogos de dimensões mais altas e as estruturas finitas são algumas vezes chamadas de geometrias finitas .

Formalmente, uma estrutura de incidência é um trio

${\displaystyle C=(P,L,I).\,}$

onde P é um conjunto de "pontos", L é um conjunto de "retas" e ${\displaystyle I\subseteq P\times L}$ é a relação de incidência . Os elementos de ${\displaystyle I}$ são chamados de sinalizadores. E se

${\displaystyle (p,l)\in I,}$

dizemos que o ponto p "está na reta" ${\displaystyle l}$ .

Os tópicos nesta área incluem:

• Configurações
• Arranjos de retas
• Arranjos de hiperplanos
• Edificações

Um matróide orientado é uma estrutura matemática que abstrai as propriedades de gráficos orientados e de arranjos de vetores em um espaço vetorial sobre um corpo ordenado (particularmente para espaços vetoriais parcialmente ordenados ).^[4] Em comparação, um matróide comum (ou seja, não orientado) abstrai as propriedades de dependência comuns também a gráficos, que não são necessariamente direcionados, e a arranjos de vetores sobre corpos, que não são necessariamente ordenados.^[5][6]

Um grafo geométrico é um gráfico no qual os vértices ou arestas estão associadas a objetos geométricos . Os exemplos incluem grafos euclidianos, o 1- esqueleto de um poliedro ou polítopo, gráficos de interseção e gráficos de visibilidade .

Os tópicos nesta área incluem:

• Desenho gráfico
• Gráficos poliédricos
• Diagramas de Voronoi e triangulações de Delaunay

Um complexo simplicial é um espaço topológico de um certo tipo, construído pela "colagem" de pontos, segmentos de retas, triângulos e suas contrapartes n- dimensionais (veja a ilustração). Complexos simpliciais não devem ser confundidos com a noção mais abstrata de um conjunto simplicial que aparece na teoria moderna da homotopia simplicial. A contrapartida puramente combinatória a um complexo simplicial é um complexo simplicial abstrato .

A disciplina de topologia combinatória usou conceitos combinatórios em topologia e, no início do século XX, se transformou no campo da topologia algébrica .

Em 1978, a situação foi revertida - métodos da topologia algébrica foram usados para resolver um problema na matemática combinatória - quando László Lovász provou a conjectura de Kneser, iniciando assim um novo estudo da topologia combinatória . A prova de Lovász usou o teorema de Borsuk-Ulam e esse teorema mantém um papel de destaque nesse novo campo. Este teorema tem muitas versões e análogos equivalentes e tem sido usado no estudo de problemas de divisão justa .

• Lema de Sperner
• Mapas regulares

Um grupo discreto é um grupo G equipado com a topologia discreta . Com essa topologia, G se torna um grupo topológico . Um subgrupo discreto de um grupo topológico G é um subgrupo H cuja topologia relativa é a discreta. Por exemplo, os números inteiros Z formam um subgrupo discreto dos reais R (com a topologia métrica padrão), mas os números racionais Q não.

Uma treliça em um grupo topológico compacto localmente é um subgrupo discreto com a propriedade de que o espaço do quociente possui uma medida invariante finita. No caso especial de subgrupos do R ^n, isso equivale à noção geométrica habitual de uma treliça, e tanto a estrutura algébrica das treliças e a geometria da totalidade de todos as malhas são relativamente bem compreendidas. Resultados profundos de Borel, Harish-Chandra, Mostow, Tamagawa, MS Raghunathan, Margulis, Zimmer, obtidos entre os anos 50 e 70, forneceram exemplos e generalizaram grande parte da teoria ao conjunto de grupos de Lie nilpotentes e grupos algébricos semi - simples em um corpo local . Na década de 1990, Bass e Lubotzky iniciaram o estudo de treliças de árvores, que continua sendo uma área de pesquisa ativa.

Os tópicos nesta área incluem:

• Grupos de reflexão
• Grupos de triângulos

A geometria digital lida com conjuntos discretos (geralmente conjuntos de pontos discretos) considerados modelos digitalizados ou imagens de objetos do espaço euclidiano 2D ou 3D.

Simplificando, a digitalização está substituindo um objeto por um conjunto discreto de pontos. As imagens que vemos na tela da TV, a exibição raster de um computador ou nos jornais são de fato imagens digitais .

Suas principais áreas de aplicação são computação gráfica e análise de imagens .^[7]

Geometria diferencial discreta é o estudo de contrapartes discretas de noções em geometria diferencial . Em vez de curvas e superfícies suaves, existem polígonos, malhas e complexos simpliciais . É utilizado no estudo de computação gráfica e topologia combinatória .

Os tópicos nesta área incluem:

• Operador discreto de Laplace
• Cálculo externo discreto
• Cálculo discreto
• Teoria discreta de Morse
• Topologia combinatória
• Análise de formas espectrais
• Geometria diferencial abstrata
• Análise em fractais

• Geometria Discreta e Computacional (journal)
• Matemática discreta
• Paul Erdős

Referências

• Bezdek, András (2003). Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday. Marcel Dekker. New York, N.Y: [s.n.] ISBN 0-8247-0968-3 
• Bezdek, Károly (2010). Classical Topics in Discrete Geometry. Springer. New York, N.Y: [s.n.] ISBN 978-1-4419-0599-4 
• Bezdek, Károly (2013). Lectures on Sphere Arrangements - the Discrete Geometric Side. Springer. New York, N.Y: [s.n.] ISBN 978-1-4614-8117-1 
• Bezdek, Károly; Deza, Antoine; Ye, Yinyu (2013). Discrete Geometry and Optimization. Springer. New York, N.Y: [s.n.] ISBN 978-3-319-00200-2 
• Brass, Peter; Moser, William; Pach, János (2005). Research problems in discrete geometry. Springer. Berlin: [s.n.] ISBN 0-387-23815-8 
• Pach, János; Agarwal, Pankaj K. (1995). Combinatorial geometry. Wiley-Interscience. New York: [s.n.] ISBN 0-471-58890-3 
• Goodman, Jacob E. and O'Rourke, Joseph (2004). Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition. Chapman & Hall/CRC. Boca Raton: [s.n.] ISBN 1-58488-301-4  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
• Gruber, Peter M. (2007). Convex and Discrete Geometry. Springer. Berlin: [s.n.] ISBN 3-540-71132-5. [Peter M. Gruber Resumo divulgativo] Verifique valor |resumo-url= (ajuda) 
• Matoušek, Jiří (2002). Lectures on discrete geometry. Springer. Berlin: [s.n.] ISBN 0-387-95374-4 
• Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan (1997). Excursions into Combinatorial Geometry. Springer. [S.l.: s.n.] ISBN 3-540-61341-2  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)