Uma Inequação do 2º Grau é uma inequação que pode ser reduzida à forma:
a x 2 + b x + c ⋆ 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c\star 0} . Note que comparar um dos termos a zero é essencial para a resolução de qualquer inequação mais complexa do que a inequação do 1º grau .
Inicialmente, acham-se os zeros da inequação, resolvendo-a como uma equação quadrática . Note que, achando 2 raízes reais, sabe-se que Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} , achando-se 1 raiz real, sabe-se que Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} e não se achando raiz real, sabe-se que Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0} . Após isso, observa-se o sinal do coeficiente a {\displaystyle a} . Pelo estudo dos sinais da função quadrática , temos que:
Exemplo de uma função positiva para qualquer valor de x {\displaystyle x} Exemplo de uma função negativa para x ≠ r 1 = r 2 {\displaystyle x\neq r_{1}=r_{2}} e nula para x = r 1 = r 2 {\displaystyle x=r_{1}=r_{2}} Exemplo de uma função positiva para x < r 1 {\displaystyle x<r_{1}} ou x > r 2 {\displaystyle x>r_{2}} ; nula para x = r 1 = r 2 {\displaystyle x=r_{1}=r_{2}} e negativa para r 1 < x < r 2 {\displaystyle r_{1}<x<r_{2}} . Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0} a > 0 → f ( x ) > 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle a>0\rightarrow f(x)>0,\forall x\in \mathbb {R} } a < 0 → f ( x ) < 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle a<0\rightarrow f(x)<0,\forall x\in \mathbb {R} } Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} a > 0 {\displaystyle a>0} f ( x ) > 0 → x ≠ r 1 = r 2 {\displaystyle f(x)>0\rightarrow x\neq r_{1}=r_{2}} f ( x ) = 0 → x = r 1 = r 2 {\displaystyle f(x)=0\rightarrow x=r_{1}=r_{2}} a < 0 {\displaystyle a<0} f ( x ) < 0 → x ≠ r 1 = r 2 {\displaystyle f(x)<0\rightarrow x\neq r_{1}=r_{2}} f ( x ) = 0 → x = r 1 = r 2 {\displaystyle f(x)=0\rightarrow x=r_{1}=r_{2}} Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} a > 0 {\displaystyle a>0} f ( x ) > 0 → x < r 1 ∨ x > r 2 {\displaystyle f(x)>0\rightarrow x<r_{1}\lor x>r_{2}} f ( x ) = 0 → x = r 1 ∨ x = r 2 {\displaystyle f(x)=0\rightarrow x=r_{1}\lor x=r_{2}} f ( x ) < 0 → r 1 < x < r 2 {\displaystyle f(x)<0\rightarrow r_{1}<x<r_{2}} a < 0 {\displaystyle a<0} f ( x ) > 0 → r 1 < x < r 2 {\displaystyle f(x)>0\rightarrow r_{1}<x<r_{2}} f ( x ) = 0 → x = r 1 ∨ x = r 2 {\displaystyle f(x)=0\rightarrow x=r_{1}\lor x=r_{2}} f ( x ) < 0 → x < r 1 ∨ x > r 2 {\displaystyle f(x)<0\rightarrow x<r_{1}\lor x>r_{2}} Então, separe-se os valores adequados e obtém-se o conjunto-solução.
Praticamente, pode-se esboçar o gráfico da função
y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} , observando os sinais do coeficiente a {\displaystyle a} e do Δ {\displaystyle \Delta } , e selecionando as raízes que cumprem a função. Basta observar para que valores a curva está acima (positivo) ou abaixo (negativo) da abcissa .
x 2 + 6 ≥ 5 x ⇔ x 2 − 5 x + 6 ≥ 0 {\displaystyle x^{2}+6\geq 5x\Leftrightarrow x^{2}-5x+6\geq 0} . Se x 2 − 5 x + 6 = 0 {\displaystyle x^{2}-5x+6=0} , então r 1 = 2 {\displaystyle r_{1}=2} e r 2 = 3 {\displaystyle r_{2}=3} . Logo, Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} (uma vez que se obteve 2 raízes). Como a = 1 > 0 {\displaystyle a=1>0} , então, os valores que fazem f ( x ) > 0 {\displaystyle f(x)>0} ou f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} são x ≤ 2 {\displaystyle x\leq 2} ou x ≥ 3 {\displaystyle x\geq 3} x 2 − 2 x + 1 ≤ 0 {\displaystyle x^{2}-2x+1\leq 0} . Se x 2 − 2 x + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-2x+1=0} , então r 1 = r 2 = 1 {\displaystyle r_{1}=r_{2}=1} . Logo, Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} (uma vez que se obteve 1 raiz). Como a = 1 > 0 {\displaystyle a=1>0} , então, os valores que fazem f ( x ) < 0 {\displaystyle f(x)<0} ou f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} são apenas x = 1 {\displaystyle x=1} . − x 2 − x − 1 > 0 {\displaystyle -x^{2}-x-1>0} . Se − x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle -x^{2}-x-1=0} , então a equação não possui raízes reais. Logo, Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0} . Como a = − 1 < 0 {\displaystyle a=-1<0} , então não há valores que fazem f ( x ) > 0 {\displaystyle f(x)>0} . MURAKAMI, Gelson Iezzi Carlos. "Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 1". 8ª Edição. São Paulo: Atual, 2004. ISBN 85-357-0455-8