Inequação-produto – Wikipédia, a enciclopédia livre

Inequação-produto é toda inequação na qual há um produto de termos. Note que o produto deve ser comparado a zero, para que seja possível avaliar os sinais dos fatores. A inequação é da forma:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{N}f_{i}(x)\star 0}$

onde é necessário que haja o produto de pelo menos dois polinômios.

Exemplo:

${\displaystyle (x-3)(x^{2}-4)\leq 0}$

Há dois métodos principais de resolução da Inequação-Produto: o método de decomposição (método matemático) e o do Quadro de Sinais (método prático).

Decompõe-se o produto em seus valores possíveis, obtêm-se o Conjunto Solução de cada valor e acha-se o valor geral possível:

${\displaystyle [f(x)][g(x)]>0\Leftrightarrow (f(x)>0\land g(x)>0)\lor (f(x)<0\land g(x)<0)}$

${\displaystyle [f(x)][g(x)]<0\Leftrightarrow (f(x)>0\land g(x)<0)\lor (f(x)<0\land g(x)>0)}$

etc...

Note que ${\displaystyle \land }$ é o e lógico, equivalente à Interseção e que ${\displaystyle \lor }$ é o ou lógico, equivalente à União.

${\displaystyle (x-2)(2x-3)>0}$

${\displaystyle (x-2)>0\land (2x-3)>0}$

${\displaystyle x-2>0\Leftrightarrow x>2\Leftrightarrow S_{1}}$

${\displaystyle 2x-3>0\Leftrightarrow 2x>3\Leftrightarrow x>{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow S_{2}}$

${\displaystyle S_{1}\cap S_{2}\Leftrightarrow x>2\land x>{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow x>2\Leftrightarrow S_{3}}$

${\displaystyle (x-2)<0\land (2x-3)<0}$

${\displaystyle x-2<0\Leftrightarrow x<2\Leftrightarrow S_{4}}$

${\displaystyle 2x-3<0\Leftrightarrow 2x<3\Leftrightarrow x<{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow S_{5}}$

${\displaystyle S_{4}\cap S_{5}\Leftrightarrow x<2\land x<{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow x<{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow S_{6}}$

${\displaystyle S_{3}\cup S_{6}\Leftrightarrow x>2\lor x<{\frac {3}{2}}\Leftrightarrow S}$

Passos para a resolução da inequação-produto pelo quadro se sinais:

1º) Obtêm-se o valor das raízes de cada fator da inequação-produto, igualando-os a zero.

2º) Após isso, estuda-se o sinal de cada fator.

3º) Então, faz-se um quadro de sinais, como mostrado na imagem, sendo ${\displaystyle r_{1}}$ a raiz de ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle r_{2}}$ a raiz de ${\displaystyle g(x)}$.

4º) O quadro determina o sinal de cada fator, dependendo do ${\displaystyle x}$, para cada fator e, posteriormente, do próprio produto, utilizando as regras de intervalos reais.

${\displaystyle (x-3)(7-x)\geq 0\Leftrightarrow 3\leq x\leq 7\Leftrightarrow S}$

Observando a imagem, concluimos que o trecho em que o produto assume valor positivo é aquele que compreende os valores de ${\displaystyle x}$ entre ${\displaystyle 3}$ e ${\displaystyle 7}$.

É possível, na verdade, observar inequações-produto sem fatores que sejam resumidos à inequações do 1º grau ou que tenham mais de dois fatores. Sua resolução, todavia, apesar de usar os métodos descritos, requisita outros conhecimentos:

${\displaystyle (x^{3}-2x^{2}+5)[log_{x}(x-1)]({\sqrt {2^{x}-x^{2}}})<0}$

• MURAKAMI, Gelson Iezzi Carlos. "Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 1". 8ª Edição. São Paulo: Atual, 2004. ISBN 85-357-0455-8

• Inequação
• Inequação simultânea
• Inequação-quociente
• Inequação do 2º grau

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