União (matemática) – Wikipédia, a enciclopédia livre
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Em teoria dos conjuntos, a união de dois ou mais conjuntos é o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um destes conjuntos. Em outras palavras, a união de dois conjuntos A e B é formada por todos os elementos pertencentes a A ou B ou a ambos. A união é uma operação binária, na álgebra booleana seria o Operador OR. A união de dois conjuntos sempre resultará em todos os elementos de ambos os conjuntos, sendo apresentados apenas uma única vez. É representada pelo símbolo .
Representando por |X| o cardinal de um conjunto X, e por a interseção de conjuntos, tem-se
- ,
que vale para A e B conjuntos finitos ou infinitos. Para conjuntos finitos, a igualdade anterior pode ser escrita na forma
- ,
que é um caso particular do princípio da inclusão-exclusão.
Definição
[editar | editar código-fonte]Pela teoria básica de conjuntos, define-se por:[1]
Por exemplo:
- Se A = {1, 2, 3} e B = {4 ,5}, então
- Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5}, então . Note que os elementos do conjunto não são repetidos.
Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é válida. A definição de união é um pouco mais complicada que a definição de interseção, porque devemos, primeiro, construir um conjunto maior que A e B, antes de usar o axioma da separação.
Este conjunto existe, combinando o axioma do par com o axioma da união:
- (Axioma do par)
- (Axioma da união)
Aplicando a segunda proposição ao conjunto F da primeira, temos que:
Finalmente, aplicando o axioma da separação com a fórmula para o conjunto C, obtemos uma união de A e B.
O axioma da extensão garante que a união é única.
Em outras palavras, provou-se que
União generalizada
[editar | editar código-fonte]Dado um conjunto e um conjunto de índices . Se para todo tem-se que , diz-se que é uma família de partes de , onde é o conjunto das partes de .
A união dos elementos da família é o conjunto:
- .
Se existir uma bijeção , então pode-se denotar tal união por
- ,
- onde para todo , e diz-se que tal união é uma união enumerável.
Se for finito e forem seus elementos, então pode-se denotar tal união por
- ,
- onde e diz-se que tal união é uma união finita.
Uma união arbitrária é uma união onde não se sabe, a priori, a cardinalidade do conjunto de índices. Tais definições são importantes na topologia, em que por exemplo, a união finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado e a união arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
Exemplo
[editar | editar código-fonte]Se A={1,3,4} e B={2,3}, então A U B={1,2,3,4}
Se A={10,30,400} e B={20,30}, então A U B={10,20,30,400}
Se A={1,3,9} e B={1,5,9},então A B = {1,9}
Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então A - B= {1,2}
Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então B - A= {6}
Propriedade
[editar | editar código-fonte]Uma característica é que somente é possível utilizar este operador caso as tabelas de origem possuam compatibilidade de união, ou seja, as tabelas devem ser equivalentes e gerarem o mesmo tipo de resultado. A união permite realizar a operação entre duas tabelas contendo atributos diferentes, quando esta possuir o número e o tipo de atributos semelhantes, possibilitando a compatibilidade da união.
Sintaxe
[editar | editar código-fonte]Consequência imediata da definição de que a união é um comutativo, podemos representar em símbolos:
A união é também uma adesão:
Quando utilizamos o operador união em dois conjuntos, elimina a duplicidade automaticamente:
A = (A,B,C,R) B = (B,D,R,K) AUB=(A,B,C,R,D,K).
Exemplos
[editar | editar código-fonte]Considerando dois conjuntos finitos, A = {1; 2; 3} e B = {2; 3; 4}. A união é obtida considerando todos os elementos pertencentes a pelo menos um dos dois conjuntos:
No mundo real podemos representar duas tabelas:
Chegada | Trem | Estação | Hora |
---|---|---|---|
1 | ES609 | Firenze S.M.N. | 15.30' |
2 | ES609 | Bologna C. | 16.30' |
3 | ES609 | Padova | 17.50' |
4 | ES609 | Venezia S. Lucia | 18.25' |
Partida | Trem | Estação | Hora |
---|---|---|---|
1 | ES609 | Roma Termini | 14.00' |
2 | ES609 | Firenze S.M.N. | 15.40' |
3 | ES609 | Bologna C. | 16.35' |
4 | ES609 | Padova | 17.55' |
Suponhamos que precisamos de uma tabela com os trens que passam em Bolonha (partem e chegam), o comando SQL mais adequado é o seguinte:
SELECT hora, trem FROM chegada WHERE estacao LIKE "Bologna%" UNION SELECT hora, trem FROM partida WHERE estacao LIKE "Bologna%"
Que produzirá o seguinte resultado:
Hora | Trem |
---|---|
16.30' | ES609 |
16.35' | ES609 |
Referências
- ↑ Sunichi Toida, site da Old Dominium University, College of Sciences, Computer Sciences, Introduction to Set Theory, Set Operations [em linha]