Axioma do infinito – Wikipédia, a enciclopédia livre

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Na teoria dos conjuntos, a teoria do Axioma do Infinito é aquele que garante a existência de um conjunto infinito.

Exemplos de conjuntos infinitos: Conjunto dos números naturais;inteiros;racionais e reais.

Isso é feito postulando-se a existência de um conjunto que não é vazio e que, para todo elemento seu, tem outro elemento maior.

Nos axiomas de Zermelo-Fraenkel, este axioma deve ser apresentado depois do axioma do par, axioma da união, axioma da separação e axioma da extensão, porque ele usa a notação ${\displaystyle \varnothing \,}$ para o conjunto vazio, {x} para o conjunto cujo único elemento é x, e ${\displaystyle x\cup y\,}$ para a união de dois conjuntos.

Assim, o axioma fica:

${\displaystyle \exists \mathbf {N} :\varnothing \in \mathbf {N} \land (\forall x:x\in \mathbf {N} \implies x\cup \{x\}\in \mathbf {N} )}$

Ou seja, existe um conjunto que tem o conjunto vazio como seu elemento e que, para todo elemento, tem também o seu sucessor.

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