Em matemática , matriz transposta é a matriz que se obtém da troca de linhas por colunas de uma dada matriz. Desta forma, transpor uma matriz é a operação que leva na obtenção de sua transposta. Neste artigo, a matriz transposta de uma matriz M {\displaystyle M} será representada por M T {\displaystyle M^{\mathrm {T} }} . Outras formas de representação encontradas na literatura são M t {\displaystyle M^{t}} e M ′ {\displaystyle M'} .[ 1] [ 2] [ 3]
A transposta da matriz A = [ a i , j ] i , j = 1 m , n {\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}} é a matriz A T = [ a i , j ] j , i = 1 n , m {\displaystyle A^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}} [ 1] [ 2] [ 3] , i.e.:
A = [ a 1 , 1 a 1 , 2 … a 1 , n a 2 , 1 a 2 , 2 … a 2 , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m , 1 a m , 2 … a m , n ] ⇔ A T = [ a 1 , 1 a 2 , 1 … a m , 1 a 1 , 2 a 2 , 2 … a m , 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 1 , n a 2 , n … a m , n ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\ldots &a_{m,n}\\\end{bmatrix}}\Leftrightarrow A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{2,1}&\ldots &a_{m,1}\\a_{1,2}&a_{2,2}&\ldots &a_{m,2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,n}&a_{2,n}&\ldots &a_{m,n}\\\end{bmatrix}}} A operação de transpor uma matriz é a operação unitária T : M → M {\displaystyle {}^{\mathrm {T} }:\mathbb {M} \to \mathbb {M} } definida no conjunto das matrizes M {\displaystyle \mathbb {M} } que associa a cada matriz A {\displaystyle A} sua transposta A T {\displaystyle A^{\mathrm {T} }} .
Veja alguns exemplos:
[ 1 2 ] T = [ 1 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.} [ 1 2 3 4 ] T = [ 1 3 2 4 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}.} A reflexão dos elementos da matriz em relação à sua diagonal principal (elementos 1 {\displaystyle 1} e 4 {\displaystyle 4} ) produz a sua transposta. A transposta de uma matriz A = [ a i , j ] i , j = 1 m , n {\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}} é construída por reflexão de seus elementos em relação à sua diagonal principal. Ou seja, o elemento da linha i {\displaystyle i} -ésima linha e j {\displaystyle j} -ésima coluna da matriz A {\displaystyle A} deve corresponder ao elemento da j {\displaystyle j} -ésima linha e i {\displaystyle i} -ésima coluna da matriz A T {\displaystyle A^{\mathrm {T} }} .[ 1]
Uma das formas práticas de construir a matriz A T {\displaystyle A^{\mathrm {T} }} é colocando em sua colunas as linhas da matriz A {\displaystyle A} na mesma ordem. Ou, equivalentemente, colocando as colunas da matriz A {\displaystyle A} nas linhas da matriz A T {\displaystyle A^{\mathrm {T} }} na mesma ordem.
Matrizes transpostas têm as seguintes propriedades:[ 1]
( A T ) T = A {\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A} ( A + B ) T = A T + B T {\displaystyle (A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }} ( c A ) T = c A T {\displaystyle (cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }} ( A B ) T = B T A T {\displaystyle \left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }} ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T {\displaystyle (A^{\mathrm {T} })^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm {T} }} , se A {\displaystyle A} é uma matriz não singular . det ( A T ) = det ( A ) {\displaystyle \det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)} A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original. Por exemplo: X = [ a b c d ] ⇒ X X T = [ a b c d ] [ a c b d ] = {\displaystyle X={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}\Rightarrow XX^{T}={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {Red}c}\\{\color {OliveGreen}b}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}=} [ a 2 + b 2 a c + b d c a + d b c 2 + d 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\color {Red}a}^{2}+{\color {OliveGreen}b}^{2}&{\color {Red}a}{\color {Red}c}+{\color {OliveGreen}b}{\color {OliveGreen}d}\\{\color {Red}c}{\color {Red}a}+{\color {OliveGreen}d}{\color {OliveGreen}b}&{\color {Red}c}^{2}+{\color {OliveGreen}d}^{2}\end{bmatrix}}} A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original. Por exemplo: X = [ a b c d ] ⇒ X T X = [ a c b d ] [ a b c d ] = {\displaystyle X={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}\Rightarrow X^{T}X={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {Red}c}\\{\color {OliveGreen}b}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}=} [ a 2 + c 2 a b + c d a b + c d b 2 + d 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\color {Red}a}^{2}+{\color {Red}c}^{2}&{\color {Red}a}{\color {OliveGreen}b}+{\color {Red}c}{\color {OliveGreen}d}\\{\color {Red}a}{\color {OliveGreen}b}+{\color {Red}c}{\color {OliveGreen}d}&{\color {OliveGreen}b}^{2}+{\color {OliveGreen}d}^{2}\end{bmatrix}}} Demonstração. 1. ( A T ) T = A {\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A\quad \,} Seja A = [ a i , j ] i , j = 1 m , n {\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}} . Então, A T = [ a i , j ] j , i = 1 n , m {\displaystyle A^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}} e, portanto, ( A T ) T = [ a i , j ] i , j = 1 m , n = A {\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}=A} .
2. ( A + B ) T = A T + B T {\displaystyle (A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }} Sejam A = [ a i , j ] i , j = 1 m , n {\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}} e B = [ b i , j ] i , j = 1 m , n {\displaystyle B=[b_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}} . Então:
( A + B ) T = ( [ a i , j + b i , j ] i , j = 1 m , n ) T = [ a i , j + b i , j ] j , i = 1 n , m = A T + B T {\displaystyle \left(A+B\right)^{\mathrm {T} }=\left([a_{i,j}+b_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}+b_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }} .
3. ( c A ) T = c A T {\displaystyle (cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }} Seja A = [ a i , j ] i , j = 1 m , n {\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}} . Então:
( c A ) T = ( c [ a i , j ] i , j = 1 m , n ) T = ( [ c a i , j ] i , j = 1 m , n ) T = [ c a i , j ] j , i = 1 n , m = c [ a i , j ] j , i = 1 n , m = c A T {\displaystyle (cA)^{\mathrm {T} }=\left(c[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^{\mathrm {T} }=\left([ca_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^{\mathrm {T} }=[ca_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}=c[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}=cA^{\mathrm {T} }} .
4. ( A B ) T = B T A T {\displaystyle \left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }} Sejam A = [ a i , j ] i , j = 1 m , n {\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}} e B = [ b i , j ] i , j = 1 n , p {\displaystyle B=[b_{i,j}]_{i,j=1}^{n,p}} . Então:
( A B ) T = ( [ a i , j ] i , j = 1 m , n [ b i , j ] i , j = 1 n , p ) T = ( [ ∑ k = 1 n a i , k b k , j ] i , j = 1 m , p ) T = [ ∑ k = 1 n a i , k b k , j ] j , i = 1 p , m = [ ∑ k = 1 n b k , j a i , k ] j , i = 1 p , m = [ b i , j ] j , i = 1 p , n [ a i , j ] j , i n , m = B T A T {\displaystyle {\begin{aligned}\left(AB\right)^{\mathrm {T} }&=\left([a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}[b_{i,j}]_{i,j=1}^{n,p}\right)^{\mathrm {T} }\\&=\left(\left[\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\right]_{i,j=1}^{m,p}\right)^{\mathrm {T} }\\&=\left[\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\right]_{j,i=1}^{p,m}\\&=\left[\sum _{k=1}^{n}b_{k,j}a_{i,k}\right]_{j,i=1}^{p,m}\\&=[b_{i,j}]_{j,i=1}^{p,n}[a_{i,j}]_{j,i}^{n,m}\\&=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }\end{aligned}}}
5. ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T {\displaystyle (A^{\mathrm {T} })^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm {T} }} , se A {\displaystyle A} é uma matriz não singular. Se A {\displaystyle A} é uma matriz não singular, então A A − 1 = A − 1 A = I {\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=I} . Daí, segue que:
I = I T = ( A A − 1 ) T = A T ( A − 1 ) T {\displaystyle I=I^{\mathrm {T} }=\left(AA^{-1}\right)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }} e
I = I T = ( A − 1 A ) T = ( A − 1 ) T A T {\displaystyle I=I^{\mathrm {T} }=\left(A^{-1}A\right)^{\mathrm {T} }=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }} ou seja, a inversa de A T {\displaystyle A^{\mathrm {T} }} é a transposta de A − 1 {\displaystyle A^{-1}} , como queríamos demonstrar.
6. det ( A T ) = det ( A ) {\displaystyle \det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)} Seja A = [ a i , j ] i , j = 1 n , n {\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}} . Por definição, o determinante de A {\displaystyle A} é dado por:
det ( A ) := ∑ k = 1 n ! ± a 1 , s k , 1 a 2 , s k , 2 ⋯ a n , s k , n {\displaystyle \det(A):=\sum _{k=1}^{n!}\pm a_{1,s_{k,1}}a_{2,s_{k,2}}\cdots a_{n,s_{k,n}}} onde, s k , i {\displaystyle s_{k,i}} corresponde ao i {\displaystyle i} -ésimo elemento da k {\displaystyle k} -ésima permutação da sequência ( 1 , 2 , … , n ) {\displaystyle (1,2,\ldots ,n)} . E, o sinal no somatório é positivo se a permutação é par e negativo se a permutação for ímpar.
Observamos, que na definição de determinante, em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada linha, sem repetir a coluna, é escolhido. Isso é equivalente a dizer que em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada coluna, sem repetir a linha, é escolhido, i.e.:
det ( A ) = ∑ k = 1 n ! ± a s k , 1 , 1 a s k , 2 , 2 ⋯ a s k , n , n := det ( A T ) {\displaystyle \det(A)=\sum _{k=1}^{n!}\pm a_{s_{k,1},1}a_{s_{k,2},2}\cdots a_{s_{k,n},n}:=\det(A^{T})} .
7. A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta é uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original. Seja A = [ a i , j ] i , j = 1 n , n {\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}} . Então:
A A T = [ a i , j ] i , j = 1 n , n [ a i , j ] j , i = 1 n , n = [ ∑ k = 1 n a i , k a j , k ] i , j = 1 n , n {\displaystyle AA^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,n}=\left[\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}a_{j,k}\right]_{i,j=1}^{n,n}} donde vemos que os termos da diagonal ( i = j {\displaystyle i=j} ) são as somas dos quadrados dos elementos da respectiva linha. Como queríamos demonstrar.
8. A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original. Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 7..
Referências ↑ a b c d Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086 ↑ a b Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522107445 ↑ a b Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622093