Base (álgebra linear) – Wikipédia, a enciclopédia livre
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Na álgebra linear, uma base de um espaço vectorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram esse espaço.[1]
Definição
[editar | editar código-fonte]Se é um espaço vectorial sobre um corpo chama-se base de a um conjunto de vectores de linearmente independentes que gera
Exemplos
[editar | editar código-fonte]- O espaço vectorial tem por base o conjunto[2]
que se denomina a sua base canónica.
- No plano a recta de equação tem por base o conjunto
- O espaço vectorial dos polinómios p(x) de coeficientes reais tem uma base infinita, o conjunto
- Cada corpo K pode ser considerado como um espaço vectorial sobre ele mesmo. Neste caso, qualquer elemento não-nulo forma uma base
- O espaço vectorial formado pelo vetor nulo tem como base o conjunto vazio.[2]
- Seja um elemento algébrico sobre o corpo sendo uma extensão de Então existe um polinômio com coeficientes em tal que Podemos definir o grau de em como o menor grau dos polinômios em que Então é uma extensão algébrica de e, portanto, podemos considerar como um espaço vetorial sobre Neste caso, a sua base é
Cardinalidade e dimensão
[editar | editar código-fonte]Um espaço vectorial pode ter mais de uma base. De facto, um espaço vectorial só pode ter uma única base nos seguintes casos:
- o espaço formado só por sobre qualquer corpo (a base é o conjunto vazio);
- o espaço como espaço vectorial sobre o corpo (a base é {}).
Os seguintes resultados, porém, são válidos:
- Se um espaço vectorial tem uma base finita, então todas as outras bases também são finitas, e têm a mesma cardinalidade.[3]
- De modo geral, supondo-se o axioma da escolha, duas bases de um espaço vectorial tem a mesma cardinalidade (mesmo se a base for um conjunto infinito). Esta cardinalidade designa-se por dimensão de [4] Um espaço vectorial que possui uma de suas bases formada por 3 vectores, por exemplo, é um espaço vetorial de dimensão 3.
Existência
[editar | editar código-fonte]Usando-se uma forma equivalente do axioma da escolha, o Lema de Zorn, é fácil mostrar que todo espaço vectorial tem uma base e, mais geralmente, provar que, para qualquer conjunto linearmente independente de vectores de existe uma base de que contém Seja o conjunto de todos as partes linearmente independentes de que contêm O conjunto está parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos. Seja uma parte de totalmente ordenada. Então é majorado; basta ver que a união de todos os elementos de é novamente linearmente independente e contém (ou seja, pertence a ) e que contém todos os elementos de O lema de Zorn afirma então que tem algum elemento maximal Então, como ∈ é linearmente independente e contém Se não gerasse haveria algum vector ∈ que não seria combinação linear de elementos de Então ∪ seria também um conjunto linearmente independente que conteria Mas ⊂ ∪ e ≠ ∪ o que está em contradição com ser um elemento maximal de Logo, gera e, portanto, é uma base.
Subespaços vectoriais
[editar | editar código-fonte]Se o espaço vectorial tem uma base e é um subespaço vectorial de então tem uma base com as seguintes propriedades:
- Se é um conjunto finito e é um subconjunto próprio de então tem menos elementos que
- No caso geral, pode-se apenas afirmar que a cardinalidade de é menor ou igual que a de
Outra propriedade importante é a seguinte:
- Se W é um subespaço vectorial de V, e W tem uma base B1, então existe uma base B de V tal que B1 é um subconjunto de B.
Este resultado, no caso infinito, depende do axioma da escolha.
Interpretação
[editar | editar código-fonte]Uma boa forma de interpretar o conceito de Base é pensar nas cores primárias: se misturarmos amarelo, magenta e azul ciano nas proporções correctas podemos criar qualquer outra cor que desejemos. Além do mais, tal proporção é única para a cor desejada. Da mesma forma, uma Base permite-nos, de maneira única, combinar linearmente ("misturar") os seus vectores ("cores primárias") para obtermos o vector ("a cor") que pretendemos.
Referências
[editar | editar código-fonte]Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975