Seja o vetor posição de um ponto da placa indeformada. Então
Os vetores formam uma basecartesiana com origem na superfície média da placa, e são as corrdenadas cartesianas da superfície média da placa indeformada, e é a coordenada na direção da espessura.
Seja o deslocamento de um ponto da placa expresso por . Então
Este deslocamento pode ser decomposto em uma soma vetorial do deslocamento da superfície média e um deslocamento perpendicular ao plano na direção . Podemos escrever o deslocamento no plano da superfície média como
Observe que o índice assume os valores 1 e 2 (mas não 3).
Assim, as hipóteses de Kirchhoff implicam que
Se são os ângulos de rotação da normal à superfície média, então no modelo de Kirchhoff-Love
Note-se que podemos interpretar a expressão para como a expansão de primeira ordem da série de Taylor para o deslocamento em torno da superfície média.
A teoria original desenvolvida por Love é válida para deformações e rotações infinitesimais. A teoria foi ampliada por Theodore von Kármán para situações onde são admitidas rotações moderadas.
Para a situação onde as deformações são infinitesimais e as rotações das normais à superfície média são menores que 10 graus, as relações deformação-deslocamento são
Usando as hipóteses cinemáticas obtemos
Portanto, as únicas deformações não-nulas são nas direções do plano de referência.
As equações de equilíbrio da placa podem ser obtidas pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais. Para uma placa fina submetida a uma carga transversal quasi-estática estas equações são
Dedução das equações de equilíbrio para pequenas rotações
Para a situação em que as deformações e rotações da placa são pequenas a energia virtual interna é dada por
sendo a espessura da placa e as tensões resultantes e os momentos resultantes definidos por
Mediante integração por partes resulta
A simetria do tensor tensão implica que . Portanto,
Outra integração por partes fornece
Para o caso em que não há força externa prescrita, o princípio dos trabalhos virtuais implica que . As equações de equilíbrio da placa são portanto dadas por
Se a placa é solicitada por uma carga externa distribuída normal à superfície média e com sentido positivo , o trabalho virtual externo devido ao carregamento é
O Princípio dos Trabalhos Virtuais conduz então às equações de equilíbrio
The boundary conditions that are needed to solve the equilibrium equations of plate theory can be obtained from the boundary terms in the principle of virtual work. In the absence of external forces on the boundary, the boundary conditions are
Note that the quantity is an effective shear force.
Referências
↑A. E. H. Love, On the small free vibrations and deformations of elastic shells, Philosophical trans. of the Royal Society (London), 1888, Vol. série A, N° 17 p. 491–549.
↑Reddy, J. N., 2007, Theory and analysis of elastic plates and shells, CRC Press, Taylor and Francis.