Modelos ARCH – Wikipédia, a enciclopédia livre
A heteroscedasticidade condicional auto-regressiva (autoregressive conditional heteroskedasticity ou ARCH, na sigla em ingês) é a condição em que há um ou mais pontos de dados para os quais a variância do atual termo de erro ou inovação é uma função dos tamanhos reais dos termos de erro dos intervalos de tempo anteriores.[1] Frequentemente, a variância está relacionada com os quadrados das inovações anteriores. Em econometria, modelos ARCH são usados para caracterizar e modelar séries temporais.[2] Uma variedade de outros acrônimos é aplicada a estruturas particulares com uma base semelhante.
Modelos ARCH são comumente empregados ao modelar séries temporais financeiras que exibem agrupamento de volatilidade variante com o tempo, isto é, períodos de instabilidade intercalados com períodos de relativa estabilidade.[3] Modelos de tipo ARCH são às vezes considerados como parte da família dos modelos de volatilidade estocástica. No entanto, estritamente falando, isto está incorreto, já que, no tempo , a volatilidade é completamente pré-determinada (determinística) dados os valores anteriores.[4]
Especificação do modelo ARCH()
[editar | editar código-fonte]Para modelar uma série temporal usando um processo ARCH, considere os termos de erro (resíduos de retorno, em relação a um processo médio), isto é, os termos da série. Estes são divididos em uma peça estocástica e um desvio padrão dependente de tempo caracteriza o tamanho típico do termos, de modo que:
A variável aleatória é um processo forte de ruído branco. A série é modelada por:
em que e . Um modelo ARCH() pode ser estimado usando mínimos quadrados ordinários. Uma metodologia para testar a extensão do atraso dos erros ARCH usando o teste do multiplicador de Lagrange foi proposta por Robert Engle em 1982.[2] O procedimento é como segue:
1. Estime o modelo auto-regressivo AR() mais adequado ;
2. Obtenha os quadrados do erro e regresse-os em uma constante e valores atrasados:
em que é a extensão dos atrasos ARCH;
3. A hipótese nula é que, na ausência de componentes ARCH, temos para todo . A hipótese alternativa é que, na presença de componentes ARCH, pelo menos um dos coeficientes estimados deve ser significante. Em uma amostra de resíduos sob a hipótese nula de nenhum erro ARCH, a estatística de teste segue distribuição com graus de liberdade, em que é o número de equações no modelo que adequa os resíduos tendo em vista os atrasos (isto é, ). Se for maior que o valor qui-quadrado da tabela, rejeita-se a hipótese nula e conclui-se que há um efeito ARCH no modelo auto-regressivo de médias móveis (ARMA). Se for menor que o valor qui-quadrado da tabela, não se rejeita a hipótese nula.
GARCH
[editar | editar código-fonte]Se um modelo auto-regressivo de médias móveis (ARMA) for assumido para a variância do erro, tem-se um modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada (GARCH).[5]
Neste caso, o modelo GARCH (em que é a ordem dos termos GARCH e é a ordem dos termos ARCH ) é dado por:
Geralmente, quando se testa a heteroscedasticidade em modelos econométricos, o melhor teste é o teste de White.[6] Entretanto, quando se lida com dados de séries temporais, isso significa testar erros ARCH e GARCH.
O modelo de médias móveis exponencialmente ponderadas (EWMA) é um modelo alternativo em uma classe separada de modelos suavizantes exponenciais. Como uma alternativa à modelagem GARCH, tem algumas propriedades atraentes como um peso maior a observações mais recentes, mas algumas desvantagens como um fator arbitrário de decaimento que introduz subjetividade na estimação.
Especificação do modelo GARCH ()
[editar | editar código-fonte]A extensão do atraso de um processo GARCH() é estabelecida em três passos:[7]
1. Estime o modelo AR() mais adequado:
2. Compute e mapeie as autocorrelações de por
3. O desvio padrão assintótico, isto é, para grandes amostras, de é . Valores individuais maiores que estes indicam erros GARCH. Para estimar o número total de atrasos, usa-se o teste de Ljung-Box até que o valor destes for menos que 10% significante. A estatística-Q de Ljung-Box segue distribuição com graus de liberdade se os quadrados dos resíduos não forem correlacionados. Recomenda-se considerar até valores de . A hipótese nula afirma que não há erros ARCH ou GARCH. Rejeitar a hipótese nula significa então que tais erros existem na variância condicional.[8]
NGARCH
[editar | editar código-fonte]O modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada não linear (NGARCH), também conhecido como modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada assimétrica não linear (NAGARCH), é dado por:[9]
Para retornos de ações, o parâmetro é geralmente estimado como positivo. Neste caso, reflete o efeito de alavanca, significando que retornos negativos aumentam a volatilidade futura por uma quantidade maior do que retornos positivos da mesma magnitude.[9][10]
Este modelo não deve ser confundido com o modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva não linear (NARCH), junto com a extensão NGARCH, introduzido por M. L. Higgins e A. K. Bera em 1992.[11]
IGARCH
[editar | editar código-fonte]O modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada integrada (IGARCH) é uma versão restrita do modelo GARCH, em que a soma dos parâmetros persistentes resulta em zero, e importa uma raiz unitária no processo GARCH. A condição para isto é:[12]
EGARCH
[editar | editar código-fonte]O modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada exponencial (EGARCH), introduzido por Daniel B. Nelson em 1991, é outra forma de modelo GARCH.[13] Formalmente, um modelo EGARCH() é dado por:
em que , é a variância condicional, , , , e são os coeficientes. pode ser uma variávei normal padrão ou vir de uma distribuição de erro generalizada. A formulação para permite que o sinal e a magnitude de tenham efeitos separados na volatilidade. Isto é particularmente útil no contexto de precificação de ativos.[14]
Já que pode ser negativo, não há (menos) restrições nos parâmetros. Em 1992, Daniel B. Nelson e Charles Q. Cao afirmaram que a limitação positiva ou não-negativa são proibitivas no modelo GARCH, enquanto esta limitação não existe no modelo EGARCH.[15]
GARCH-M
[editar | editar código-fonte]O modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada em média (GARCH-M) adiciona um termo de heteroscedasticidade na equação média. Tem a especificação:[16]
O resíduo é definido como:
QGARCH
[editar | editar código-fonte]Proposto por Enrique Sentana em 1995, o modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada quadrática (QGARCH) é usado para modelar efeitos assimétricos de choques positivos e negativos.[17]
No exemplo de um modelo GARCH, o processo residual é
em que é uma variável independente e identicamente distribuída e
GJR-GARCH
[editar | editar código-fonte]Semelhante ao QGARCH, o modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada de Glosten–Jagannathan–Runkle (GJR-GARCH), proposto pelos autores em 1993, também modela assimetria nos processos ARCH.[18] A sugestão é modelar , em que é uma variável independente e identicamente distribuída e:
em que se e se .
TGARCH
[editar | editar código-fonte]O modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada limiar (TGARCH), proposto por Jean–Michel Zakoian em 1994, é semelhante ao modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada de Glosten–Jagannathan–Runkle.[19] A especificação se refere ao desvio padrão condicional no lugar da variância condicional:
em que se e se . Da mesma forma, se e se .
fGARCH
[editar | editar código-fonte]O modelo da família de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada (fGARCH), proposto por Ludger Henschel em 1995, também conhecido como família GARCH, é um modelo abrangente que inclui uma variedade de outros modelos GARCH populares, simétricos e assimétricos, entre os quais o modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva de poder assimétrico (APARCH), o modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada de Glosten–Jagannathan–Runkle (GJR-GARCH), o modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada de valor absoluto (AVGARCH), o modelo de heteroscedasticidade condicional auto-regressiva generalizada não linear (NGARCH), entre outros.[20]
COGARCH
[editar | editar código-fonte]Em 2004, Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner e Ross Maller propuserem uma generalização de tempo contínuo do processo GARCH de tempo discreto.[21] A ideia é começar com equações do modelo GARCH:
e então substituir o processo de ruído branco forte pelos incrementos infinitesimais de um processo Lévy e o quadrado do processo de ruído pelos incrementos , em que:
é a parte puramente descontínua do processo de variação quadrática de . O resultado é o seguinte sistema de equações diferenciais estocásticas:
em que os parâmetros positivos , e são determinados por , e . Agora, dada alguma condição inicial , o sistema acima tem uma única solução por caminho , que é então chamado de modelo GARCH de tempo contínuo (COGARCH).
Referências
[editar | editar código-fonte]- ↑ Engle, Robert F. (1995). ARCH: Selected Readings (em inglês). [S.l.]: Oxford University Press. ISBN 9780198774327
- ↑ a b Engle, Robert F. (1982). «Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation». Econometrica. 50 (4): 987–1007. doi:10.2307/1912773
- ↑ Enders, Walter (2004). Applied Econometric Time Series (em inglês). [S.l.]: J. Wiley. ISBN 9780471451730
- ↑ Brooks, Chris (22 de maio de 2008). Introductory Econometrics for Finance (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press
- ↑ Bollerslev, Tim. «Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity». Journal of Econometrics. 31 (3): 307–327. doi:10.1016/0304-4076(86)90063-1
- ↑ Gujarati, Damodar N. (2003). Basic econometrics (em inglês). [S.l.]: McGraw Hill. ISBN 9780071123426
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