Processo de Wiener – Wikipédia, a enciclopédia livre

Em matemática, o processo de Wiener é um processo estocástico de tempo contínuo, que recebe este nome em homenagem a Norbert Wiener. É frequentemente chamado de processo de movimento browniano padrão ou movimento browniano devido a sua conexão histórica com o processo físico conhecido como movimento browniano primeiramente observado por Robert Brown. Foi também estudado por Albert Einstein.^[1] É um dos mais conhecidos processos de Lévy (processos estocásticos càdlàg com incrementos independentes estacionários) e ocorre frequentemente em matemática pura e aplicada, economia, matemática financeira e física.

O processo de Wiener desempenha um papel importante tanto na matemática pura, quanto na aplicada. Em matemática pura, o processo de Wiener fez surgir o estudo de martingales de tempo contínuo. É um processo-chave em cujos termos processos estocásticos mais complicados podem ser descritos, em especial, por ser um dos únicos processos que é, ao mesmo tempo, martingale e markoviano. Como tal, desempenha um papel vital no cálculo estocástico, nos processos de difusão e, até mesmo, na teoria do potencial. É o processo condutor da evolução de Schramm-Loewner. Em matemática aplicada, o processo de Wiener é usado para representar a integral de um processo gaussiano de ruído branco, que é útil no que se refere a modelos de ruído na engenharia eletrônica (veja ruído browniano), erros de instrumento em teoria da filtragem e forças desconhecidas em teoria de controle.^[2]

O processo de Wiener tem aplicações por todas as ciências matemáticas. Em física, é usado para estudar o movimento browniano, a difusão de partículas mínimas suspensas em fluido, e outros tipos de difusão via equações de Langevin e Fokker-Planck. Também constitui a base da formação de integrais de caminho da mecânica quântica^[3] (pela fórmula de Feynman-Kac, uma solução à equação de Schrödinger que pode ser representada nos termos do processo de Wiener) e do estudo da inflação eterna na cosmologia física. Também é proeminente na teoria matemática das finanças, em particular no modelo Black-Scholes de precificação de opções.

O processo de Wiener ${\displaystyle W_{t}}$ é caracterizado pelas seguintes propriedades:^[4][5]

1. ${\displaystyle W_{0}=0}$ q.c.
2. ${\displaystyle W}$ tem incrementos independentes: para todo ${\displaystyle t>0}$, os incrementos futuros ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t}}$, ${\displaystyle u\geq 0}$, são independentes dos valores passados ${\displaystyle W_{s}}$, ${\displaystyle s\leq t}$.
3. ${\displaystyle W}$ tem incrementos gaussianos: ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t}}$ é normalmente distribuído com média ${\displaystyle 0}$ e variância ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle W_{t+u}-W_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,u)}$
4. ${\displaystyle W}$ tem caminhos contínuos: com probabilidade ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle W_{t}}$ é contínuo em ${\displaystyle t}$.

Por incrementos independentes, diz-se que, se ${\displaystyle 0\leq s_{1}<t_{1}\leq s_{2}<t_{2}}$_, então ${\displaystyle W_{t1}-W_{s1}}$ e ${\displaystyle W_{t2}-W_{s2}}$ são variáveis aleatórias independentes e a mesma condição se mantém para ${\displaystyle n}$ incrementos.

Uma caracterização alternativa do processo de Wiener é a então chamada caracterização de Lévy, que diz que o processo de Wiener é um martingale quase certamente contínuo com ${\displaystyle W_{0}=0}$ e variação quadrática ${\displaystyle [W_{t},W_{t}]=t}$ (o que significa que ${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$ é também um martingale).

Uma terceira caracterização diz que o processo de Wiener tem um representação espectral como uma série de senos cujos coeficientes são variáveis aleatórias independentes ${\displaystyle N(0,1)}$. Esta representação pode ser obtida usando o teorema de Karhunen-Loève.

Outra caracterização de um processo de Wiener é a integral definida (de ${\displaystyle 0}$ ao tempo ${\displaystyle t}$) de um processo gaussiano ("branco") delta-correlacionado com variância ${\displaystyle 1}$ e média ${\displaystyle 0}$.

O processo de Wiener pode ser construído como o limite escalar de um passeio aleatório ou outros processos estocásticos de tempo discreto com incrementos independentes estacionários. Isto é conhecido como teorema de Donsker. Assim como o passeio aleatório, o processo de Wiener é recorrente em uma ou duas dimensões (o que significa que ele retorna quase certamente a qualquer vizinhança fixada da origem infinitas vezes), mas não é recorrente em três ou mais dimensões. Diferentemente do passeio aleatório, tem como característica a invariância de escala, o que significa que

${\displaystyle \alpha ^{-1}W_{\alpha ^{2}t}}$

é um processo de Wiener para qualquer constante ${\displaystyle \alpha }$ não nula. A medida de Wiener é a lei probabilística no espaço das funções contínuas ${\displaystyle g}$, com ${\displaystyle g(0)=0}$, induzido pelo processo de Wiener. Uma integral baseada na medida de Wiener pode ser chamada de integral de Wiener.

Considere ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots }$ variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média ${\displaystyle 0}$ e variância ${\displaystyle 1}$. Para cada ${\displaystyle n}$, defina um processo estocástico de tempo contínuo

${\displaystyle W_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{1\leq k\leq \lfloor nt\rfloor }\xi _{k}}$

Esta é uma função passo aleatório. Incrementos de ${\displaystyle W_{n}}$ são independentes porque ${\displaystyle \xi _{k}}$ são independentes. Para ${\displaystyle n}$ grande, ${\displaystyle W_{n}(t)-W_{n}(s)}$é próximo de ${\displaystyle N(0,t-s)}$ pelo teorema central do limite. Conforme ${\displaystyle n\to \infty }$, ${\displaystyle W_{n}}$ se aproximará de um processo de Wiener. A prova desta afirmação é oferecida pelo teorema de Donsker. Esta formulação explicou por que o movimento browniano é ubíquo.^[6]

A função densidade de probabilidade incondicional, que segue distribuição normal com média igual a ${\displaystyle 0}$ e variância igual a ${\displaystyle t}$, em um tempo fixado ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/(2t)}.}$

O valor esperado é zero:

${\displaystyle E[W_{t}]=0.}$

A variância, usando a fórmula algébrica para a variância, é t:

${\displaystyle \operatorname {Var} (W_{t})=E\left[W_{t}^{2}\right]-E^{2}[W_{t}]=E\left[W_{t}^{2}\right]-0=E\left[W_{t}^{2}\right]=t.}$

A covariância e a correlação:

${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{s},W_{t})=\min(s,t),}$

${\displaystyle \operatorname {corr} (W_{s},W_{t})={\frac {\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {\min(s,t)}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {\min(s,t)}{\max(s,t)}}}.}$

Os resultados para o valor esperado e a variância seguem imediatamente da definição de que os incrementos têm uma distribuição normal, centrada em zero. Assim

${\displaystyle W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim N(0,t).}$

Os resultados para a covariância e a correlação seguem da definição de que incrementos não sobrepostos são independentes, da qual apenas a propriedade de que eles não são correlacionados é usada. Suponha que ${\displaystyle t_{1}<t_{2}}$.

${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\right].}$

Substituindo

${\displaystyle W_{t_{2}}=(W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}}}$

Chegamos em:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}})\right]\\&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]+\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right].\end{aligned}}}$

Já que ${\displaystyle W(t_{1})=W(t_{1})-W(t_{0})}$ e ${\displaystyle W(t_{2})-W(t_{1})}$ são independentes,

${\displaystyle \operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]=\operatorname {E} [W_{t_{1}}]\cdot \operatorname {E} [W_{t_{2}}-W_{t_{1}}]=0.}$

Assim

${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right]=t_{1}.}$

Wiener (1923) também deu uma representação de um caminho browniano em termos de uma série aleatória de Fourier. Se ${\displaystyle \xi _{n}}$ são variáveis gaussianas independentes com média ${\displaystyle 0}$ e variância ${\displaystyle 1}$, então

${\displaystyle W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \pi nt}{\pi n}}}$

e

${\displaystyle W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}}$

representa um movimento browniano em ${\displaystyle [0,1]}$. O processo escalado

${\displaystyle {\sqrt {c}}\,W\left({\frac {t}{c}}\right)}$

é um movimento browniano em ${\displaystyle [0,c]}$ (vide teorema de Karhunen-Loève).

A distribuição conjunta do máximo corrente

${\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}}$

e ${\displaystyle W_{t}}$ é

${\displaystyle f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,w\leq m.}$

Para obter a distribuição incondicional de ${\displaystyle f_{M_{t}}}$, integra-se ao longo de ${\displaystyle -\infty <w\leq m}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{M_{t}}(m)&=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]&={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0.\end{aligned}}}$

E o valor esperado^[7]

${\displaystyle \operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}}$

Se em ${\displaystyle t}$ o processo de Wiener tem um valor conhecido ${\displaystyle W_{t}}$, é possível calcular a distribuição de probabilidade condicional do máximo no intervalo ${\displaystyle [0,t]}$ (vide a distribuição de probabilidade de pontos extremos de um processo estocástico de Wiener).

Para todo ${\displaystyle c>0}$, o processo ${\displaystyle V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}}$ é outro processo de Wiener.

O processo ${\displaystyle V_{t}=W_{1}-W_{1-t}}$ para ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ é distribuído como ${\displaystyle W_{t}}$ para ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$.

O processo ${\displaystyle V_{t}=tW_{1/t}}$ é outro processo de Wiener.

Se uma função polinomial ${\displaystyle p(x,t)}$ satisfaz a equação diferencial parcial

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t)=0}$

então o processo estocástico

${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)}$

é um martingale.

Exemplo: ${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$ é um martingale, que mostra que a variação quadrática de ${\displaystyle W}$ em ${\displaystyle [0,t]}$ é igual a ${\displaystyle t}$. Segue-se que o tempo de primeira saída esperado de ${\displaystyle W}$ de ${\displaystyle (-c,c)}$ é igual a ${\displaystyle c^{2}}$.

Mais geralmente, para toda função polinomial ${\displaystyle p(x,t)}$, o seguinte processo estocástico é um martingale:

${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)-\int _{0}^{t}a(W_{s},s)\,\mathrm {d} s,}$

em que ${\displaystyle a}$ é a função polinomial

${\displaystyle a(x,t)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t).}$

Exemplo: ${\displaystyle p(x,t)=(x^{2}-t)^{2},}$ ${\displaystyle a(x,t)=4x^{2};}$ o processo

${\displaystyle (W_{t}^{2}-t)^{2}-4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$

é um martingale, que mostra que a variação quadrática do martingale ${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$ on [0, t]${\displaystyle [0,t]}$ é igual a

${\displaystyle 4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s.}$

O conjunto de todas as funções ${\displaystyle w}$ com estes propriedades é composto inteiramente por medidas de Wiener. Isto é, um caminho (função amostral) do processo de Wiener tem todas estas propriedades quase certamente.

• Para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$, a função ${\displaystyle w}$ assume tanto valores (estritamente) positivos, como (estritamente) negativos em ${\displaystyle (0,\varepsilon )}$.
• A função ${\displaystyle w}$ é contínua em todo lugar, mas diferenciável em lugar nenhum (assim como a função de Weierstrass).
• Pontos do máximo local da função ${\displaystyle w}$ são um conjunto contável denso; os valores máximos são diferentes por pares; cada máximo local é agudo na seguinte acepção: se ${\displaystyle w}$ tem um máximo local em ${\displaystyle t}$, então

${\displaystyle \lim _{s\to t}{\frac {|w(s)-w(t)|}{|s-t|}}\to \infty .}$

O mesmo se aplica a mínimos locais.

• A função ${\displaystyle w}$ não tem nenhum ponto de crescimento local, isto é, nenhum ${\displaystyle t>0}$ satisfaz as seguintes condições para algum ${\displaystyle \varepsilon }$ em ${\displaystyle (0,t)}$: em primeiro lugar, ${\displaystyle w(s)\leq t}$ para todo ${\displaystyle s}$ em ${\displaystyle (t-\varepsilon ,t)}$, e em segundo lugar, ${\displaystyle w(s)\geq w(t)}$ para todo ${\displaystyle s}$ em ${\displaystyle (t,t+\varepsilon )}$. O crescimento local é uma condição mais fraca do que aquela referente ao crescimento de ${\displaystyle w}$ em ${\displaystyle (t-\varepsilon ,t+\varepsilon )}$. O mesmo se aplica ao decrescimento local.
• A função ${\displaystyle w}$ é de variação limitada em todo intervalo.
• A variação quadrática de ${\displaystyle w}$ ao longo de ${\displaystyle [0,t]}$ é ${\displaystyle t}$.
• Os zeros da função ${\displaystyle w}$ são um conjunto perfeito denso em lugar nenhum com medida de Lebesgue 0 e dimensão de Hausdorff ${\displaystyle 1/2}$ (portanto, incontável).

${\displaystyle \limsup _{t\to +\infty }{\frac {|w(t)|}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1,\quad {\text{quase certamente}}.}$

Módulo local de continuidade:

${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}{\frac {|w(\varepsilon )|}{\sqrt {2\varepsilon \log \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{quase certamente}}.}$

Módulo global de continuidade (Lévy):

${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}\sup _{0\leq s<t\leq 1,t-s\leq \varepsilon }{\frac {|w(s)-w(t)|}{\sqrt {2\varepsilon \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{quase certamente}}.}$

A imagem da medida de Lebesgue em ${\displaystyle [0,t]}$ sob o mapa ${\displaystyle w}$ (a medida imagem) tem uma densidade ${\displaystyle L_{t}(\cdot )}$. Assim,

${\displaystyle \int _{0}^{t}f(w(s))\,\mathrm {d} s=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)L_{t}(x)\,\mathrm {d} x}$

para uma ampla classe de funções ${\displaystyle f}$ (nomeadamente, todas as funções contínuas, todas as funções localmente integráveis, todas as funções não negativas mensuráveis). A densidade ${\displaystyle L_{t}}$ é (mais exatamente, pode ser e será escolhida como) contínua. O número ${\displaystyle L_{t}(x)}$é chamado de tempo local em ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle w}$ ao longo de ${\displaystyle [0,t]}$. É estritamente positiva para todo ${\displaystyle x}$ do intervalo ${\displaystyle (a,b)}$, em que ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são o menor e o maior valor de ${\displaystyle w}$ em ${\displaystyle [0,t]}$, respectivamente. Para ${\displaystyle x}$ fora deste intervalo, o tempo local evidentemente desaparece. Tratado como uma função de duas variáveis ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle t}$, o tempo local é ainda contínuo. Tratado como uma função de ${\displaystyle t}$ (em que ${\displaystyle x}$ está fixado), o tempo local é uma função singular correspondente à medida não atômica sobre o conjunto de zeros de ${\displaystyle w}$.

Estas propriedades de continuidade são razoavelmente não triviais. Considere que o tempo local também possa ser definido (como a densidade da medida imagem) para uma função suave. Por consequência, entretanto, a densidade é descontínua, a não ser que a função dada seja monótona. Em outras palavras, há um conflito entre o bom comportamento de uma função e o bom comportamento de seu tempo local. Neste sentido, a continuidade do tempo local para o processo de Wiener é outra manifestação da não suavidade da trajetória

O processo estocástico definido por

${\displaystyle X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}}$

é chamado de processo de Wiener com deriva ${\displaystyle \mu }$ e variância infinitesimal ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Estes processos representam todos os processos de Lévy contínuos.

Dois processos aleatórios no intervalo de tempo ${\displaystyle [0,1]}$ aparecem, grosso modo, quando se condiciona o processo de Wiener a desaparecer nos dois extremos de ${\displaystyle [0,1]}$. Quando não se condiciona mais, o processo assume tanto valores positivos, como negativos em ${\displaystyle [0,1]}$ e é chamado de ponte browniana. Condicionado a permanecer positivo em ${\displaystyle [0,1]}$, o processo é chamado de excursão browniana.^[8] Em ambos os casos, um tratamento rigoroso envolve um procedimento limitante, já que a fórmula ${\displaystyle P(A|B)=P(A\bigcap B)/P(B)}$ não se aplica quando ${\displaystyle P(B)=0}$.

Um movimento browniano geométrico pode ser escrito como

${\displaystyle e^{\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t}{2}}+\sigma W_{t}}.}$

É um processo estocástico usado para modelar processos que nunca podem assumir valores negativos, tais como os valores de ações.

O processo estocástico

${\displaystyle X_{t}=e^{-t}W_{e^{2t}}}$

é distribuído como o processo de Ornstein-Uhlenbeck.

O tempo de chegada a um único ponto ${\displaystyle x>0}$ pelo processo de Wiener é uma variável aleatória com distribuição de Lévy. A família destas variáveis aleatórias (indexadas por todos os números positivos ${\displaystyle x}$) é uma modificação contínua à esquerda do processo de Lévy. A modificação contínua à direita deste processo é dada pelos tempos de primeira saída a partir de intervalos fechados ${\displaystyle [0,x]}$.

O tempo local ${\displaystyle L=(L_{t}^{x})_{x\in R,t\geq 0}}$ de um movimento browniano descreve o tempo que o processo passa no ponto ${\displaystyle x}$. Formalmente,

${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{t})\,ds}$

em que ${\displaystyle \delta }$ é a função delta de Dirac. O comportamento do tempo local é caracterizado pelos teoremas de Ray-Knight.

Considere ${\displaystyle A}$ um evento relacionado ao processo de Wiener (mais formalmente, um conjunto, mensurável no que se refere à medida de Wiener, no espaço de funções), e ${\displaystyle X_{t}}$ a probabilidade condicional de ${\displaystyle A}$ dado o processo de Wiener no intervalo de tempo ${\displaystyle [0,t]}$ (mais formalmente, a medida de Wiener do conjunto de trajetórias cuja concatenação com a trajetória parcial dada em ${\displaystyle [0,t]}$ pertence a ${\displaystyle A}$). Então, o processo ${\displaystyle X_{t}}$ é um martingale contínuo. Sua propriedade martingale deriva imediatamente das definições, mas sua continuidade é um fato muito especial – um caso especial de um teorema geral que afirma que todos os martingales brownianos são contínuos. Um martingale browniano é, por definição, um martingale adaptado à filtração browniana, sendo esta, por definição, a filtração gerada pelo processo de Wiener.

A integral do tempo do processo de Wiener

${\displaystyle W^{(-1)}(t):=\int _{0}^{t}W(s)ds}$

é chamada de movimento browniano integrado ou processo de Wiener integrado. Aparece em muitas aplicações e pode-se mostrar por cálculo que tem distribuição ${\displaystyle N(0,t^{3}/3)}$, usando o fato de que a covariância do processo de Wiener é ${\displaystyle t\wedge s=\min(t,s)}$.^[9]

Todo martingale contínuo (a partir da origem) é um processo de Wiener com tempo mudado.

Exemplo: ${\displaystyle 2W_{t}=V(4t)}$, em que ${\displaystyle V}$ é outro processo de Wiener (diferente de ${\displaystyle W}$, mas distribuído como ${\displaystyle W}$).

Exemplo: ${\displaystyle W_{t}^{2}-t=V_{A(t)}}$, em que ${\displaystyle A(t)=4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$ e ${\displaystyle V}$ é outro processo de Wiener.

Geralmente, se ${\displaystyle M}$ for um martingale contínuo, então ${\displaystyle M_{t}-M_{0}=V_{A(t)}}$ , em que ${\displaystyle A(t)}$ é a variação quadrática de ${\displaystyle M}$ em ${\displaystyle [0,t]}$ e ${\displaystyle V}$ é um processo de Wiener.

Corolário: Considere ${\displaystyle M_{t}}$ um martingale contínuo e

${\displaystyle M_{\infty }^{-}=\liminf _{t\to \infty }M_{t},}$

${\displaystyle M_{\infty }^{+}=\limsup _{t\to \infty }M_{t}.}$

Então, apenas os dois casos seguintes são possíveis:

${\displaystyle -\infty <M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}<+\infty ,}$

${\displaystyle -\infty =M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}=+\infty ;}$

outros casos (tais como ${\displaystyle M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}=+\infty ,}$   ${\displaystyle M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}<+\infty }$, etc.) são de probabilidade ${\displaystyle 0}$.

Especialmente, um martingale contínuo não negativo tem um limite finito (como ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$) quase certamente.

Tudo o que foi afirmado nesta subseção sobre martingales também se aplica a martingales locais.

Uma classe ampla de semimartingales contínuos (especialmente, de processos de difusão) está relacionada ao processo de Wiener por meio de uma combinação de mudança de tempo e mudança de medida.

Usando este fato, as propriedades qualitativas afirmadas acima para o processo de Wiener podem ser generalizadas para uma classe ampla de semimartingales contínuos.^[10][11]

O processo de Wiener de valores complexos pode ser definido como um processo aleatório de valores complexos da forma ${\displaystyle Z_{t}=X_{t}+iY_{t}}$ em que ${\displaystyle X_{t},Y_{t}}$ são processos de Wiener independentes (de valores reais).^[12]

O escalamento browniano, a reversão de tempo e a inversão de tempo são iguais aos do caso com valores reais.

Quanto à invariância de rotação, para cada número complexo ${\displaystyle c}$ tal que ${\displaystyle \left\vert c\right\vert =1}$, o processo ${\displaystyle cZ_{t}}$ é outro processo de Wiener de valores complexos

Se ${\displaystyle f}$ for uma função inteira, então, o processo ${\displaystyle f(Z_{t})-f(0)}$ é um processo de Wiener de valores complexos com mudança de tempo.

Exemplo: ${\displaystyle Z_{t}^{2}=(X_{t}^{2}-Y_{t}^{2})+2X_{t}Y_{t}i=U_{A(t)}}$ em que

${\displaystyle A(t)=4\int _{0}^{t}|Z_{s}|^{2}\,\mathrm {d} s}$

e ${\displaystyle U}$ é outro processo de Wiener de valores complexos.

Em contraste com o caso de valores reais, um martingale de valores complexos geralmente não é um processo de Wiener de valores complexos com mudança de tempo. Por exemplo, o martingale 2X_t + iY_t${\displaystyle 2X_{t}+iY_{t}}$ não é (aqui ${\displaystyle X_{t},Y_{t}}$ são processos de Wiener independentes, assim como antes).

Generalidades

• Espaço de Wiener abstrato
• Espaço de Wiener clássico
• Fractal

Amostragem de caminhos

• Método de Euler-Maruyama

• Movimento browniano para crianças em idade escolar (em inglês)
• Movimento browniano: 'diverso e ondulante' (em inglês)
• O que Brown viu e você também pode ver (em inglês)
• A previsão de Einstein finalmente observada um século depois (em inglês)