Não-convexidade (economia) – Wikipédia, a enciclopédia livre
Em economia, a não-convexidade refere-se a violações das suposições de convexidade da economia elementar. Os livros didáticos básicos de economia concentram-se nos consumidores com preferências convexas (que não preferem valores extremos para valores intermediários) e conjuntos de orçamento convexos e em produtores com conjuntos de produção convexos; para modelos convexos, o comportamento econômico previsto é bem compreendido. [1] [2] Quando hipóteses de convexidade são violadas, muitas das boas propriedades dos mercados competitivos não precisam ser mantidas: assim, a não-convexidade está associada a falhas de mercado,[3] [4] onde a oferta e demanda diferem ou onde o equilíbrio de mercado pode ser ineficiente.[1] [4] [5] [6] [7] [8] As economias não-convexas são estudadas com uma análise não-suave, que é uma generalização da análise convexa.[8] [9] [10] [11]
Demanda com muitos consumidores
[editar | editar código-fonte]Se um conjunto de preferências não for convexo, alguns preços determinarão uma linha de orçamento que suporte duas cestas ideais separadas. Por exemplo, podemos imaginar que, para os zoológicos, um leão custa tanto quanto uma águia e, além disso, que o orçamento de um zoológico é suficiente para uma águia ou um leão. Podemos supor também que um zelador considera tanto um animal como o outro igualmente valioso. Nesse caso, o zoológico compraria ou um leão ou uma águia. Naturalmente, um zoológico contemporâneo não quer comprar metade de uma águia e metade de um leão. Assim, as preferências do guardião do zoológico não são convexas: o guardião do zoológico prefere que um dos animais tenha qualquer combinação estritamente convexa de ambos.
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Quando o conjunto de preferências do consumidor não é convexo, então (para alguns preços) a demanda do consumidor não está conectada; Uma demanda desconectada implica algum comportamento descontínuo do consumidor, como discutido por Harold Hotelling:
Se as curvas de indiferença para as compras são consideradas como possuindo um caráter ondulado, convexas à origem em algumas regiões e côncavas em outras, somos forçados a concluir que são apenas as porções convexas à origem que podem ser consideradas como tendo qualquer importância., já que os outros são essencialmente inobserváveis. Eles podem ser detectados apenas pelas descontinuidades que podem ocorrer na demanda com variação nas relações de preço, levando a um salto abrupto de um ponto de tangência ao longo de um abismo quando a linha reta é girada. Mas, embora tais descontinuidades possam revelar a existência de abismos, elas nunca podem medir sua profundidade. As partes côncavas das curvas de indiferença e suas generalizações multidimensionais, se existirem, devem permanecer para sempre na obscuridade imensurável.[12]
As dificuldades de estudar as preferências não-convexas foram enfatizadas por Herman Wold [13] e novamente por Paul Samuelson, que escreveu que as não-convexidades são "encobertas pela escuridão, eterna escuridão..." [14] assim concordando com Diewert.[15]
Quando as hipóteses de convexidade são violadas, muitas das boas propriedades dos mercados competitivos não precisam ser mantidas: assim, a não convexidade está associada a falhas de mercado, em que oferta e demanda diferem ou onde o equilíbrio de mercado pode ser ineficiente.[1] Preferências não convexas foram primeiramente apresentadas entre 1959 a 1961 por uma sequência de artigos no Journal of Political Economy (JPE). Os principais contribuintes foram Farrell, [16] Bator, [17] Koopmans, [18] e Rothenberg.[19] Em particular, o artigo de Rothenberg discutiu a convexidade aproximada de somas de conjuntos não convexos.[20] Esses jornais JPE estimularam um artigo de Lloyd Shapley e Martin Shubik, que consideraram preferências de consumidores convexas e introduziram o conceito de um "equilíbrio aproximado". [21] O JPE-papers e o artigo de Shapley-Shubik influenciaram outra noção de "quase-equilíbrio", devido a Robert Aumann.[22] [23]
Conjuntos não convexos foram incorporados nas teorias dos equilíbrios econômicos gerais.[24] Estes resultados são descritos em livros de nível de graduação de microeconomia, [25] teoria do equilíbrio geral, [26] teoria dos jogos, [27] economia matemática, [28] e matemática aplicada (para economistas). [29] O lema de Shapley-Folkman estabelece que as não-convexidades são compatíveis com os equilíbrios aproximados em mercados com muitos consumidores; Esses resultados também se aplicam a economias de produção com muitas pequenas empresas . [30]
Oferta com poucos produtores
[editar | editar código-fonte]A não-convexidade é importante sob os oligopólios e especialmente os monopólios.[8] Preocupações com grandes produtores que exploram o poder de mercado deram início a literatura sobre conjuntos não convexos, quando Piero Sraffa escreveu sobre empresas com retornos crescentes de escala em 1926, [31] após o que Harold Hotelling escreveu sobre o preço de custo marginal em 1938. [32] Tanto Sraffa quanto a Hotelling expuseram o poder de mercado dos produtores sem concorrentes, estimulando claramente uma literatura sobre o lado da oferta da economia. [33]
Economia contemporânea
[editar | editar código-fonte]Pesquisas recentes em economia reconheceram a não-convexidade em novas áreas da economia. Nessas áreas, a não-convexidade está associada a falhas de mercado, em que os equilíbrios não precisam ser eficientes ou onde não existe equilíbrio competitivo porque a oferta e a demanda são diferentes.[1] [4] [4] [5] [6] [7] [8] Conjuntos não-convexos surgem também com bens ambientais (e outras externalidades ),[6] [7] e com falhas de mercado, [3] e economia pública.[5] [34] Não-convexidades ocorrem também com a economia da informação,[35] e com os mercados de ações [8] (e outros mercados incompletos). [36] [37] Tais aplicações continuaram motivando os economistas a estudarem conjuntos não convexos. [1] Em alguns casos, preços ou negociações não lineares podem superar as falhas dos mercados com preços competitivos; em outros casos, a regulamentação pode ser justificada.
Otimização ao longo do tempo
[editar | editar código-fonte]As aplicações mencionadas anteriormente dizem respeito a não-convexidades em espaços vetoriais de dimensão finita, onde os pontos representam pacotes de mercadorias. No entanto, os economistas também consideram problemas dinâmicos de otimização ao longo do tempo, usando as teorias de equações diferenciais, sistemas dinâmicos, processos estocásticos e análise funcional: os economistas usam os seguintes métodos de otimização:
- cálculo de variações, seguindo Frank P. Ramsey [38] e Harold Hotelling ; [39]
- programação dinâmica, seguindo Richard Bellman e Ronald Howard; [40] [41] e
- teoria de controle . [42]
Nessas teorias, problemas regulares envolvem funções convexas definidas em domínios convexos, e essa convexidade permite simplificações de técnicas e interpretações econômicas significativas dos resultados. [43] [44] [45] Em economia, a programação dinâmica foi usada por Martin Beckmann e Richard F. Muth para o trabalho sobre teoria de inventário e teoria do consumo. [46] Robert C. Merton usou a programação dinâmica em seu artigo de 1973 sobre o modelo de precificação de ativos de capital intertemporais.[47] (Veja também o problema do portfólio de Merton). No modelo de Merton, os investidores escolheram entre renda hoje e renda futura ou ganhos de capital, e sua solução é encontrada via programação dinâmica. Stokey, Lucas e Prescott usam programação dinâmica para resolver problemas na teoria econômica, problemas envolvendo processos estocásticos. [48] A programação dinâmica tem sido usada no crescimento econômico ideal, na extração de recursos, nos problemas do principal agente, nas finanças públicas, no investimento empresarial, na precificação de ativos, no fornecimento de fatores e na organização industrial . Ljungqvist e Sargent aplicam a programação dinâmica para estudar uma variedade de questões teóricas em política monetária, política fiscal, tributação, crescimento econômico, teoria da pesquisa e economia do trabalho.[49] Dixit e Pindyck usaram programação dinâmica para orçamento de capital.[50] Para problemas dinâmicos, as não-convexidades também estão associadas a falhas de mercado,[51] assim como são para problemas de tempo fixo. [51]
Análise não suave
[editar | editar código-fonte]Os economistas estudaram cada vez mais conjuntos não convexos com análises não-suaves, o que generaliza a análise convexa. A análise convexa concentra-se em conjuntos convexos e funções convexas, para as quais fornece ideias poderosas e resultados claros, mas não é adequada para a análise de não-convexidades, como os retornos crescentes de escala. [52] "Não-convexidades na [produção] e no consumo [...] requeriam ferramentas matemáticas que iam além da convexidade, e o desenvolvimento posterior tinha que esperar pela invenção do cálculo não suave": Por exemplo, o cálculo diferencial de Clarke para funções contínuas de Lipschitz, que usa o teorema de Rademacher e que é descrito por Rockafellar & Wets (1998) [53] e Mordukhovich (2006), [9] acordo com Khan (2008) . [10] Brown (1995) escreveu que a "principal inovação metodológica na análise de equilíbrio geral de empresas com regras de preços" foi "a introdução dos métodos de análise não suave, como uma [síntese] de análise global (topologia diferencial) e [de ] análise convexa ". Segundo Brown (1995), "Non-smooth analysis estende a aproximação local de coletores por planos tangentes [e prolonga] a aproximação análoga de conjuntos convexos por cones tangentes a conjuntos" que podem ser não suaves ou não convexos. [11] [54]
Referências
- ↑ a b c d e Mas-Colell, A. «Non-convexity». In: Eatwell; Milgate; Newman. The New Palgrave: A Dictionary of Economics (PDF). [S.l.: s.n.] doi:10.1057/9780230226203.3173
- ↑ Green, Jerry; Heller, Walter P. «1 Mathematical analysis and convexity with applications to economics». In: Arrow; Intriligator. Handbook of mathematical economics, Volume I. Col: Handbooks in economics. 1. [S.l.: s.n.] ISBN 0-444-86126-2. MR 634800. doi:10.1016/S1573-4382(81)01005-9
- ↑ a b Salanié, Bernard. «7 Nonconvexities». Microeconomics of market failures. [S.l.: s.n.] ISBN 0-262-19443-0
- ↑ a b c d Salanié (2000)
- ↑ a b c Pages 63–65: Laffont, Jean-Jacques. «3 Nonconvexities». Fondements de L'economie Publique. [S.l.: s.n.] ISBN 0-262-12127-1
- ↑ a b c «Fundamental nonconvexities in the theory of externalities». 4. MR 449575. doi:10.1016/0022-0531(72)90148-2
- ↑ a b c Pages 106, 110–137, 172, and 248: Baumol, William J.; Oates, Wallace E.; with contributions by V. S. Bawa and David F. Bradford. «8 Detrimental externalities and nonconvexities in the production set». The Theory of environmental policy. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-521-31112-0. doi:10.2277/0521311128
- ↑ a b c d e Page 1: «Pareto optimality in non-convex economies». 43. JSTOR 1913410. MR 443877. doi:10.2307/1913410 («Errata». 43. JSTOR 1911353. MR 443878. doi:10.2307/1911353)
- ↑ a b Chapter 8 "Applications to economics", especially Section 8.5.3 "Enter nonconvexity" (and the remainder of the chapter), particularly page 495:
- ↑ a b Khan, M. Ali. «Perfect competition». In: Durlauf; Blume. The New Palgrave Dictionary of Economics. [S.l.: s.n.] doi:10.1057/9780230226203.1267
- ↑ a b Brown, Donald J. «36 Equilibrium analysis with non-convex technologies». In: Hildenbrand; Sonnenschein. Handbook of mathematical economics, Volume IV. Col: Handbooks in Economics. 1. [S.l.: s.n.] ISBN 0-444-87461-5. MR 1207195. doi:10.1016/S1573-4382(05)80011-6
- ↑ Hotelling (1935): «Demand functions with limited budgets». Econometrica. 3. JSTOR 1907346. doi:10.2307/1907346
- ↑ Pages 231 and 239 (Figure 10 a–b: Illustration of lemma 5 [page 240]): «A synthesis of pure demand analysis II». 26. MR 11939
- ↑ Samuelson (1950):
- ↑ Diewert (1982): Diewert, W. E. «12 Duality approaches to microeconomic theory». In: Arrow; Intriligator. Handbook of mathematical economics, Volume II. Col: Handbooks in economics. 1. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-444-86127-6. MR 648778. doi:10.1016/S1573-4382(82)02007-4
- ↑ «The Convexity assumption in the theory of competitive markets». The Journal of Political Economy. 67. JSTOR 1825163. doi:10.1086/258197 «On Convexity, efficiency, and markets: A Reply». 69. JSTOR 1828538. doi:10.1086/258541 «The Convexity assumption in the theory of competitive markets: Rejoinder». 69. JSTOR 1828541
- ↑ «On convexity, efficiency, and markets». The Journal of Political Economy. 69. JSTOR 1828537. doi:10.1086/258540 «On convexity, efficiency, and markets: Rejoinder». 69. JSTOR 1828539. doi:10.1086/258542
- ↑ «Convexity assumptions, allocative efficiency, and competitive equilibrium». The Journal of Political Economy. 69. JSTOR 1828536. doi:10.1086/258539
- ↑ Rothenberg (1960): «Non-convexity, aggregation, and Pareto optimality». The Journal of Political Economy. 68. JSTOR 1830308. doi:10.1086/258363 («Comments on non-convexity». 69. JSTOR 1828540. doi:10.1086/258543)
- ↑ Arrow & Hahn (1980)
- ↑ Shapley & Shubik (1966): «Quasi-cores in a monetary economy with nonconvex preferences». Econometrica. 34. JSTOR 1910101. Zbl 0154.45303. doi:10.2307/1910101
- ↑ Aumann (1966): «Existence of competitive equilibrium in markets with a continuum of traders». Econometrica. 34. JSTOR 1909854. MR 191623. doi:10.2307/1909854 Aumann (1966) builds on two papers: Aumann ([[#CITEREFAumann|]])
- ↑ Taking the convex hull of non-convex preferences had been discussed earlier by Wold (1943b) and by Wold & Juréen (1953), according to Diewert (1982).
- ↑ Pages 392–399 and page 188: Arrow, Kenneth J.; Hahn, Frank H. «Appendix B: Convex and related sets». General competitive analysis. Col: Mathematical economics texts [Advanced textbooks in economics]. [S.l.: s.n.] ISBN 0-444-85497-5. MR 439057
- ↑ Varian, Hal R. «21.2 Convexity and size». Microeconomic Analysis. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-393-95735-8. MR 1036734
- ↑ Page 169 in the first edition: Starr, Ross M. «8 Convex sets, separation theorems, and non-convex sets in RN». General equilibrium theory: An introduction. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-521-53386-7. MR 1462618
- ↑ Theorem 1.6.5 on pages 24–25: Ichiishi, Tatsuro. Game theory for economic analysis. Col: Economic theory, econometrics, and mathematical economics. [S.l.: s.n.] ISBN 0-12-370180-5. MR 700688
- ↑ Pages 127 and 33–34: Cassels, J. W. S. «Appendix A Convex sets». Economics for mathematicians. Col: London Mathematical Society lecture note series. 62. [S.l.: s.n.] ISBN 0-521-28614-X. MR 657578
- ↑ Pages 93–94 (especially example 1.92), 143, 318–319, 375–377, and 416: Carter, Michael. Foundations of mathematical economics. [S.l.: s.n.] ISBN 0-262-53192-5. MR 1865841
- ↑ Economists have studied non-convex sets using advanced mathematics, particularly differential geometry and topology, Baire category, measure and integration theory, and ergodic theory: Trockel, Walter. Market demand: An analysis of large economies with nonconvex preferences. Col: Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. 223. [S.l.: s.n.] ISBN 3-540-12881-6. MR 737006
- ↑ «The Laws of returns under competitive conditions». 36. JSTOR 2959866
- ↑ «The General welfare in relation to problems of taxation and of railway and utility rates». Econometrica. 6. JSTOR 1907054. doi:10.2307/1907054
- ↑ Pages 5–7: Quinzii, Martine. Increasing returns and efficiency. [S.l.: s.n.] ISBN 0-19-506553-0
- ↑ Starrett discusses non-convexities in his textbook on public economics (pages 33, 43, 48, 56, 70–72, 82, 147, and 234–236): Starrett, David A. Foundations of public economics. Col: Cambridge economic handbooks. [S.l.: s.n.]
- ↑ «Competitive equilibrium under uncertainty». 36. doi:10.2307/1909602
- ↑ Page 270: Drèze, Jacques H. «14 Investment under private ownership: Optimality, equilibrium and stability». In: Drèze. Essays on economic decisions under uncertainty. [S.l.: s.n.] ISBN 0-521-26484-7. MR 926685 (Originally published as Drèze, Jacques H. «Investment under private ownership: Optimality, equilibrium and stability». In: Drèze. Allocation under Uncertainty: Equilibrium and Optimality. [S.l.: s.n.])
- ↑ Magille (Quinzii): Magill, Michael; Quinzii, Martine. «6 Production in a finance economy». The Theory of incomplete markets. [S.l.: s.n.]
- ↑ «A Mathematical Theory of Saving». Economic Journal. 38. JSTOR 2224098. doi:10.2307/2224098
- ↑ «The Economics of Exhaustible Resources». JPE. 39. JSTOR 1822328. doi:10.1086/254195
- ↑ Adda, Jerome; Cooper, Russell (2003), Dynamic Economics, MIT Press
- ↑ Howard, Ronald A. Dynamic Programming and Markov Processes. [S.l.: s.n.]
- ↑ Sethi, S. P.; Thompson, G. L. Optimal Control Theory: Applications to Management Science and Economics. [S.l.: s.n.] ISBN 0-387-28092-8 Slides are available at http://www.utdallas.edu/~sethi/OPRE7320presentation.html
- ↑ Troutman, John L. With the assistance of William Hrusa, ed. Variational calculus and optimal control: Optimization with elementary convexity. Col: Undergraduate Texts in Mathematics. [S.l.: s.n.] ISBN 0-387-94511-3. MR 1363262
- ↑ Craven, B. D. Control and optimization. Col: Chapman and Hall Mathematics Series. [S.l.: s.n.] ISBN 0-412-55890-4. MR 1349574
- ↑ Vinter, Richard. Optimal control. Col: Systems & Control: Foundations & Applications. [S.l.: s.n.] ISBN 0-8176-4075-4. MR 1756410
- ↑ «On the solution to the fundamental equation of inventory theory». Cowles Commission Discussion Paper. 2116
- ↑ «An Intertemporal Capital Asset Pricing Model». Econometrica. 41. doi:10.2307/1913811
- ↑ Stokey, Nancy; Lucas, Robert E.; Prescott, Edward. Recursive Methods in Economic Dynamics. [S.l.: s.n.] ISBN 0-674-75096-9
- ↑ Ljungqvist, Lars; Sargent, Thomas. Recursive Macroeconomic Theory. [S.l.: s.n.] ISBN 0-262-12274-X
- ↑ Dixit, Avinash; Pindyck, Robert. Investment Under Uncertainty. [S.l.: s.n.] ISBN 0-691-03410-9
- ↑ a b Dasgupta & Heal (1979)
- ↑ Heal (1999): Heal, G. M. «Introduction». The economics of increasing returns (PDF). Col: The International Library of Critical Writings in Economics. [S.l.: s.n.] ISBN 978-1-85898-160-4
- ↑ Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J-B. Variational analysis. Col: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. 317. [S.l.: s.n.] ISBN 3-540-62772-3. MR 1491362
- ↑ Algebraic topology has also been used to study convex and non-convex sets in economics:«Intersecting families of sets and the topology of cones in economics» (PDF). New Series. 29. MR 1218037. doi:10.1090/S0273-0979-1993-00439-7
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- Blume, Lawrence E. «Convexity». In: Durlauf; Blume. The New Palgrave Dictionary of Economics. [S.l.: s.n.] doi:10.1057/9780230226203.0315
- Crouzeix, J.-P. «Quasi-concavity». In: Durlauf; Blume. The New Palgrave Dictionary of Economics. [S.l.: s.n.] doi:10.1057/9780230226203.1375
- Dasgupta, P. S.; Heal, G. M. Economic Theory and Exhaustible Resources. [S.l.: s.n.]
- Diewert, W. E. «12 Duality approaches to microeconomic theory». In: Arrow; Intriligator. Handbook of mathematical economics, Volume II. Col: Handbooks in economics. 1. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-444-86127-6. MR 648778. doi:10.1016/S1573-4382(82)02007-4 Diewert, W. E. «12 Duality approaches to microeconomic theory». In: Arrow; Intriligator. Handbook of mathematical economics, Volume II. Col: Handbooks in economics. 1. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-444-86127-6. MR 648778. doi:10.1016/S1573-4382(82)02007-4 Diewert, W. E. «12 Duality approaches to microeconomic theory». In: Arrow; Intriligator. Handbook of mathematical economics, Volume II. Col: Handbooks in economics. 1. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-444-86127-6. MR 648778. doi:10.1016/S1573-4382(82)02007-4
- Green, Jerry; Heller, Walter P. «1 Mathematical analysis and convexity with applications to economics». In: Arrow; Intriligator. Handbook of mathematical economics, Volume I. Col: Handbooks in economics. 1. [S.l.: s.n.] ISBN 0-444-86126-2. MR 634800. doi:10.1016/S1573-4382(81)01005-9 Green, Jerry; Heller, Walter P. «1 Mathematical analysis and convexity with applications to economics». In: Arrow; Intriligator. Handbook of mathematical economics, Volume I. Col: Handbooks in economics. 1. [S.l.: s.n.] ISBN 0-444-86126-2. MR 634800. doi:10.1016/S1573-4382(81)01005-9 Green, Jerry; Heller, Walter P. «1 Mathematical analysis and convexity with applications to economics». In: Arrow; Intriligator. Handbook of mathematical economics, Volume I. Col: Handbooks in economics. 1. [S.l.: s.n.] ISBN 0-444-86126-2. MR 634800. doi:10.1016/S1573-4382(81)01005-9
- Mas-Colell, A. «Non-convexity». In: Eatwell; Milgate; Newman. The New Palgrave: A Dictionary of Economics (PDF). [S.l.: s.n.] doi:10.1057/9780230226203.3173
- Newman, Peter. «Convexity». In: Eatwell; Milgate; Newman. The New Palgrave: A Dictionary of Economics. [S.l.: s.n.] doi:10.1057/9780230226203.2282
- Newman, Peter. «Duality». In: Eatwell; Milgate; Newman. The New Palgrave: A Dictionary of Economics. [S.l.: s.n.] doi:10.1057/9780230226203.2412