Redução de ordem – Wikipédia, a enciclopédia livre
O método da redução de ordem é utilizado para se determinar a solução de uma equação diferencial ordinária e homogênea de segunda ordem.[1]
Suponha que seja conhecida uma solução , não identicamente nula, de
- . (1)
Para encontrar uma segunda solução, seja
- (2)
então,
e
Substituindo essas expressões para e na equação (1) e unindo os termos, encontramos:
- .
A equação acima é, de fato, uma equação de primeira ordem para a função e pode ser resolvida como uma equação de primeira ordem ou como uma equação separável. Assim, uma vez encontrada , é obtida por integração.
Finalmente, a solução é determinada da equação (2). Este procedimento é chamado método da redução de ordem, já que o passo crucial é a resolução de uma equação diferencial de primeira ordem para em vez da equação de segunda ordem original para .[2]
2× + y= 6
Dado que é uma solução de
- (3)
- ,
encontrar uma segunda solução linearmente independente.[3]
Vamos fazer , então:
- ,
- .
Substituindo e na equação (3) e unindo os termos, obtemos:
- (4)
Note que o coeficiente de v é nulo, como deveria. Separando as variáveis na equação (4) e resolvendo para v'(t), encontramos:
- ;
então,
- .
Segue que
- ,
onde c e k são constantes arbitrárias. A segunda parcela desta última equação é um múltiplo de e pode ser retirada, mas a primeira parcela nos dá uma solução nova independente. Desprezando a constante multiplicativa, temos:
- .
Referências
- ↑ E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 91. ISBN 978-85-216-1499-9
- ↑ E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 93. ISBN 978-85-216-1499-9
- ↑ E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 94. ISBN 978-85-216-1499-9