Algumas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem não se enquadram em nenhum dos métodos clássicos de solução. No entanto, as vezes é possível reescrever essas equações de modo a viabilizar o uso de um método clássico de solução. Este é o caso das equações redutíveis à homogênea. Essa classe de equações tem o lado direito dado por uma função que depende de uma expressão do tipo . Independente das constantes existem substituições que permitem reescrever a equação como uma equação homogênea de primeira ordem. Por esse motivo, essa classe é chamada de redutíveis à homogênea
Considere a equação diferencial ordinária de primeira ordem
Se é da forma , em que , dizemos que a equação é redutível à homogênea[1].
Há dois casos a considerar:
- Se
Observe que neste caso o sistema linear tem única solução
Neste caso definimos e . Logo, e .
Com base nisso,
e
pois é solução do sistema linear.
Dessa forma, a equação diferencial fica
que é uma equação homogênea[2] [1] em relação as variáveis e .
A solução da equação é obtida usando o método para equações homogêneas de primeira ordem.
- Se
Segue que . Portanto, e .
Com isso, a equação diferencial inicial fica
Façamos agora a mudança de variável . Daí, ou De onde segue que
Substituíndo na equação inicial
ou
Que é uma equação de variável separavel. Logo, obtemos a solução usando o método de separação de variáveis
- ↑ a b Dantas, Edmundo Menezes Dantas (1970). Elementos de Equações Diferenciais 1 ed. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico S.A. p. 20
- ↑ Sotomayor, Jorge Sotomayor (1979). Lições de equações diferenciais ordinárias 1 ed. Rio de Janeiro: IMPA. p. 22