Rolete (curva) – Wikipédia, a enciclopédia livre

Em geometria diferencial de curvas, uma rolete é um tipo de curva, generalizando cicloides, epicicloides, hipocicloides, trocoides e evolventes.

De forma geral, é a curva descrita por um ponto (denominado gerador ou polo) pertencente a uma curva dada que rola sem deslizar sobre uma outra curva dada e que permanece fixa. Mais precisamente, dada uma curva em um plano que se move tal que a curva rola sem deslizar ao longo de uma dada curva em um plano fixo ocupando o mesmo espaço, então um ponto pertencente ao plano móvel descreve uma curva no plano fixo denominada rolete.

Na animação ao lado, a curva fixa (em azul) é uma parábola, a curva móvel (em verde) é outra parábola igual à azul, e o gerador é o vértice da parábola rolante, que descreve a rolete (em vermelho). Neste caso a rolete é a Cissoide de Diocles.^[1]

Quando a curva rolante é uma reta e o gerador é um ponto sobre a reta, a rolete é denominada evolvente da curva fixa. Se a curva rolante é um círculo e a curva fixa é uma reta, a rolete é uma trocoide. Se, neste caso, o ponto está sobre o círculo, então a rolete é uma cicloide.

Se, ao invés de um simples ponto fixo ser marcado na curva girante outra dada curva é carregada junto com o plano móvel, uma família de curvas congruentes é produzida. O envelope desta família também pode ser chamado de rolete.

Um conceito relacionado é uma glissete, a curva descrita por um ponto ligado a uma dada curva quando esta desliza sobre duas (ou mais) curvas dadas.

Formalmente falando, as curvas devem ser diferenciáveis no plano euclidiano. Uma permanece invariante, e a outra é submetida a uma transformação congruente contínua, tal que para todo tempo as curvas são tangentes em um ponto de contato que se move com a mesma velocidade ao longo de qualquer das curvas. A rolete resultante é formada pelo lugar geométrico do gerador sujeito ao mesmo conjunto de transformações congruentes.

Modelando as curvas originais no plano complexo, sejam ${\displaystyle r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ parametrizações distintas tal que r(0)=f(0), r′(0)=f′(0), e |r′(t)|=|f′(t)|≠0 para todo t. A rolete de ${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$ quando r rola sobre f é então dada pelo mapeamento

${\displaystyle t\mapsto f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}.}$

Roletes em espaços de maiores dimensões podem ser imaginadas, mas são necessário mais parâmetros que apenas tangentes.

Se a curva fixa é uma catenária e a curva rolante uma reta, temos:

${\displaystyle f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)}$

${\displaystyle f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).}$

A parametrização da linha é tal que

${\displaystyle |f'(t)|\,}$ ${\displaystyle ={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}}$ ${\displaystyle ={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}}$ ${\displaystyle =|r'(t)|.\,}$

Aplicando a fórmula acima obtemos

${\displaystyle f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.}$

Se p = −i a expressão tem a parte imaginária constante (−i) e a rolete é uma linha horizontal. Uma aplicação interessante disto é que uma roda quadrada pode rolar sem saltar sobre uma estrada que é composta por uma série de arcos catenários, como mostra a animação a seguir.

Referências

• Besant, W. H. Notes on Roulettes and Glissettes, Deighton, Bell & Co., 1890. Online
• Weisstein, Eric W. «Roulette». MathWorld (em inglês) 

• «Roulette at 2dcurves.com» (em inglês) 
• «Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan» (em francês) 
• «Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen» (em alemão)