Traço parcial – Wikipédia, a enciclopédia livre

Em álgebra linear e análise funcional o traço parcial é uma generalização do traço, onde o traço é uma grandeza escalar e o traço parcial é um operador funcional.

Suponha que V e W são espaços vetoriais de dimensões finitas sobre um corpo, com m e n dimensões, respectivamente. Para qualquer espaço A assuma que ${\displaystyle L(A)}$ indique o espaço dos operadores lineares em A. O traço parcial sobre W, ${\displaystyle Tr_{W}}$, é um mapeamento de

${\displaystyle T\in \operatorname {L} (V\otimes W)\mapsto \operatorname {Tr} _{W}(T)\in \operatorname {L} (V)}$

isto é definido da seguinte forma: suponha que

${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$

e

${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$

sejam as bases para V e W respectivamente; então T possui uma matriz de representação

${\displaystyle \{a_{k\ell ,ij}\}\quad 1\leq k,i\leq m,\quad 1\leq \ell ,j\leq n}$

relativa à base

${\displaystyle e_{k}\otimes f_{\ell }}$

de

${\displaystyle V\otimes W}$.

agora para os índices k e i no alcance ${\displaystyle 1,\ldots ,m}$, considere a soma

${\displaystyle b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}.}$

Isto nos fornece a matriz ${\displaystyle b_{k,i}}$. O operador de associação linear em V é independente da escolha das bases e é por definição o traço parcial.

O operador do traço parcial pode ser definido de forma invariante (ou seja, sem dependente de uma base) como segue: isto é o operador linear único

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\rightarrow \operatorname {L} (V)}$

de forma que

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(R\otimes S)=R\,\operatorname {Tr} (S)\quad \forall R\in \operatorname {L} (V)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W).}$

Desta definição abstrata, obtém-se as seguintes propriedades:

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(I_{V\otimes W})=\dim W\ I_{V}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(T(I_{V}\otimes S))=\operatorname {Tr} _{W}((I_{V}\otimes S)T)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W)\quad \forall T\in \operatorname {L} (V\otimes W).}$

O traço parcial generaliza para operadores no espaço de Hilbert com infinitas dimensões. Suponha que V e W sejam espaços de Hilbert, e que

${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$

seja uma base ortogonal para W. Então existe um isomorfismo isométrico

${\displaystyle \bigoplus _{\ell \in I}(V\otimes \mathbb {C} f_{\ell })\rightarrow V\otimes W}$

Sob esta decomposição, qualquer operador ${\displaystyle T\in \operatorname {L} (V\otimes W)}$ pode ser considerado como uma matriz infinita de operadores em V

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\ldots &T_{1j}&\ldots \\T_{21}&T_{22}&\ldots &T_{2j}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \\T_{k1}&T_{k2}&\ldots &T_{kj}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \end{bmatrix}},}$

onde ${\displaystyle T_{k\ell }\in \operatorname {(} V)}$.

Agora suponha que T seja um operador não negativo. Neste caso, todas as diagonais da matriz são operadores não negativos em V. Se a soma

${\displaystyle \sum _{\ell }T_{\ell \ell }}$

converge na topologia de operador forte de ${\displaystyle L(V)}$, isto é independente da base escolhida de W. O traço parcial ${\displaystyle Tr_{W}(T)}$ é definido como sendo seu operador. O traço parcial do operador autoadjunto é definido se e somente se o traço parcial das partes positivas e negativas são definidas.

No caso de espaços de Hilbert com finitas dimensões, existe uma forma útil de buscar o traço parcial e envolve integral no que diz respeito a uma medida de Haar devidamente normalizada μ sobre o grupo unitário ${\displaystyle U(W)}$ de W.

Suponha que V e W sejam espaços de Hilbert com finitas dimensões. Então

${\displaystyle \int _{\operatorname {U} (W)}(I_{V}\otimes U^{*})T(I_{V}\otimes U)\ d\mu (U)}$

comuta com todos os operadores da forma ${\displaystyle I_{V}\otimes S}$ e daqui é de forma unicamente ${\displaystyle R\otimes I_{W}}$. O operador R é o traço parcial de T.

O traço parcial pode ser visto como uma operação quântica. Considere um sistema na mecânica quântica em que o estado do espaço é o produto do tensor ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$ dos espaços de Hilbert. Um estado misto é descrito por uma matriz densidade ρ, que é um operador de classe tracial não negativa de traço 1 no produto do tensor ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$ O traço parcial de ρ com respeito ao sistema B, indicado por ${\displaystyle \rho ^{A}}$, é chamado de estado reduzido de ρ no sistema A

${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\rho .}$

Para demonstrar que isto é de fato uma forma razoável para atribuir um estado ρ em um subsistema A, suponha que M seja um observável no subsistema A, então o observável correspondente no sistema composto é ${\displaystyle M\otimes I}$. Entretanto se escolhermos para definir um estado reduzido ${\displaystyle \rho ^{A}}$, deve existir uma medição estatística consistente. O valor esperado de M após o subsistema A é preparado em ${\displaystyle \rho ^{A}}$ e ${\displaystyle M\otimes I}$ quando o sistema composto é preparado em ρ deve ser identico, isto é

${\displaystyle \operatorname {Tr} (M\cdot \rho ^{A})=\operatorname {Tr} (M\otimes I\cdot \rho ).}$

Vemos que isto é satisfeito se ${\displaystyle \rho ^{A}}$ é definido como acima através de traços parciais.

Suponha que ${\displaystyle T(H)}$ seja o espaço de Banach de operadores de classe tracial no espaço de Hilbert H. Isto pode ser verificado que o traço pacial, visto como um mapeamento

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}:T(H_{A}\otimes H_{B})\rightarrow T(H_{A})}$

é sempre positivo e preservador do traço.

O mapeamento do traço parcial como dado acima induz a um duplo mapeamento ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}}$ entre os operadores limitados da C*-álgebra em ${\displaystyle \;H_{A}}$ e ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$ dado por

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}(A)=A\otimes I.}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}}$ mapeia observáveis para observáveis e é a representação de Heisenberg de ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}}$.

Suponha que ao invés de sistemas na mecânica quântica, os dois sistemas A e B são sistemas na mecânica clássica. O espaço dos observáveis para cada sistema são, então, C*-álgebras abelianas. Então são da forma ${\displaystyle C(X)}$ e ${\displaystyle C(Y)}$ respectivamente para espaços compactos X e Y. Estes estados de sistemas compostos são

${\displaystyle C(X)\otimes C(Y)=C(X\times Y).}$

Um estado num sistema composto é um elemento positivo ρ da dupla de ${\displaystyle C(X\times Y)}$, que segundo teorema da representação de Riesz corresponde a uma medição regular de Borel em ${\displaystyle X\times Y}$. Então o traço parcial é o equivalente da mecânica quântica desta operação.

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