Dodecadodecaedru snub inversat

Dodecadodecaedru snub inversat
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	84 (60 triunghiuri,       12 pentagoane,       12 pentagrame)
Laturi (muchii)	150
Vârfuri	60
χ	-6
Configurația vârfului	3.3.5.3.5/3[1]
Simbol Wythoff	| 5/3 2 5[1]
Simbol Schläfli	sr{5/3,5}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	I, [5,3]+, 532[1]
Volum	≈4,614 a3   (a = latura)
Poliedru dual	hexacontaedru pentagonal medial inversat
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie dodecadodecaedrul snub inversat este un poliedru stelat uniform, cu indicele U₆₀. Are 84 de fețe (60 triunghiuri, 12 pentagoane și 12 pentagrame), 150 de laturi și 60 de vârfuri.^[1][2] Având 84 de fețe este un ogdoecontatetraedru neconvex. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Este reprezentat prin diagrama Coxeter–Dynkin . Are simbolul Wythoff | 5/3 2 5^[1] și simbolul Schläfli sr{5/3,5}.

coordonatele carteziene ale vârfurilor sunt toate permutările pare cu un număr par de semne plus ale

${\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}+\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi +\beta +\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -1)\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +1),\,\pm (-\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta -\varphi ^{-1})\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -1),\,\pm (\alpha -\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta +\varphi ^{-1})\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi -\beta +\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +1)\,\right)}$

unde ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ este secțiunea de aur,

${\displaystyle \alpha }$ este rădăcina reală negativă a polinomului ${\displaystyle \varphi \alpha ^{4}-\alpha ^{3}+2\alpha ^{2}-\alpha -\varphi ^{-1},\,\approx -0,3352090,}$^[3] iar

${\displaystyle \beta ={\frac {\alpha ^{2}\varphi ^{-1}+\varphi }{\alpha \varphi -\varphi ^{-1}}}.}$

Permutările impare ale coordonatelor de mai sus cu un număr impar de semne plus dau o altă formă, enantiomorfă a celeilalte.^[4]

Raza circumscrisă pentru lungimea laturii de 1 unitate, ${\displaystyle R=0,8516302}$,^[2] este dată de cea mai mică rădăcină reală a polinomului^[5]

${\displaystyle 64R^{8}-192R^{6}+180R^{4}-65R^{2}+8.}$

Volumul său, V, este dat de cea mai mică dintre rădăcinile reale ale polinomului de gradul al patrulea în ${\displaystyle x^{2}}$^[6]

${\displaystyle 64x^{8}-21440x^{6}+18100x^{4}+5895625x^{2}+60062500.}$

Ca urmare, volumul este

${\displaystyle V\approx 4,61431~a^{3}}$

unde a este lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate).

Polinoamele de mai sus definesc și raza circumscrisă și volumul dodecadodecaedrului snub.

Dualul său este hexacontaedrul pentagonal medial inversat.^[7][8]

• Compus de două dodecadodecaedre snub inversate
• Lista poliedrelor uniforme

• en Uniform polyhedra and duals

Portal Matematică

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: isdid