Simbol Schläfli

Dodecaedrul este un poliedru regulat cu simbolul Schläfli {5,3}, având 3 pentagoane în jurul fiecărui vârf

În geometrie, un Simbol Schläfli este o expresie de forma {p,q,r,...} care definește politopurile regulate și teselările.

Simbolurile Schläfli sunt numite astfel după matematicianul elvețian Ludwig Schläfli din secolul al XIX-lea,^[1] care a generalizat geometria euclidiană pentru mai mult de trei dimensiuni și a descoperit toate politopurile convexe regulate, inclusiv cele șase care există în patru dimensiuni.

Definiție

Un simbol Schläfli este o descriere recursivă,^[2] care începe cu {p} pentru un poligon convex regulat cu p laturi. De exemplu, {3} este un triunghi echilateral, {4} este un pătrat, {5} este un pentagon regulat ș.a.m.d.

poligoanele stelate regulate nu sunt convexe, iar simbolurile lor Schläfli {^p/_q} conțin [fracție ireductibilă |fracții ireductibile]] ^p/_q, unde p este numărul de vârfuri, iar q este numărul de ocoliri împrejur al căii pentru a reveni într-un același vârf. Echivalent, {^p/_q} este dat de numărul de vârfuri {p}, conectate „din q în q”. De exemplu, {⁵⁄₂} este o pentagramă; {⁵⁄₁} este un pentagon.

Un poliedru regulat care în jurul fiecărui vârf are q fețe regulate cu câte p laturi este notat {p,q}. De exemplu, un cub are 3 pătrate {4} în jurul fiecărui vârf și este notat {4,3}.

Un 4-politop (politop 4-dimensional), care în jurul fiecărui laturi are r celule poliedrice regulate {p,q} este notat {p,q,r}. De exemplu, un tesseract are 3 cuburi {4,3} în jurul unei laturi și este notat {4,3,3}.

În general, un politop regulat {p,q,r,...,y,z} are z {p,q,r,...,y} fațete în jurul fiecărui pisc, unde un pisc este un vârf întru-un poliedru, o latură într-un 4-politop, o față într-un 5-politop, o celulă într-un 6-politop și o (n−3)-față într-un n-politop.

Proprietăți

Un politop regulat are o figură a vârfului regulată. Figura vârfului unui politop regulat {p,q,r,...,y,z} este {q,r,...,y,z}.

Politopurile regulate pot avea elemente de poligon stelat, ca pentagrama, cu simbolul {⁵⁄₂}, reprezentată prin vârfurile unui pentagon, dar conectate din două în două.

Un simbol Schläfli poate reprezenta un poliedru convex finit, o teselare infinită a spațiului euclidian sau o teselare infinită a spațiului hiperbolic, depinzând de deficitul unghiular al spațiului. Un excedent unghiular, care apare în trigonometria sferică, permite figurii vârfului să se plieze într-o dimensiune superioară și să revină sub formă de politop. Un deficit nul teselează spații cu aceeași dimensiune ca și a fațetelor. Un deficit negativ nu poate exista în spațiul obișnuit, dar poate fi construit într-un spațiu hiperbolic.

Uzual se presupune că o fațetă sau o figură a vârfului este un politop finit, dar uneori poate fi considerată o teselare.

Pulitopul dual al unui politop regulat este reprezentat de simbolul Schläfli care are elementele în ordine inversă. Un politop regulat autodual are un simbol Schläfli simetric.

În afară de descrierea politopurilor euclidiene, simbolurile Schläfli pot fi folosite pentru a descrie politopuri sferice sau faguri sferici.^[3]

Istoric și variante

Lucrările lui Schläfli au fost aproape necunoscute în timpul vieții sale, iar notația sa pentru a descrie politopuri a fost redescoperită independent de mai mulți alții. În special, Thorold Gosset a redescoperit simbolul Schläfli, pe care l-a scris cu bare verticale: | p | q | r | ... | z | în loc de acolade, cum a făcut Schläfli.^[4]

Forma lui Gosset este mai simetrică, numărul dimensiunilor este cel al barelor verticale, iar simbolul include exact subsimbolurile pentru fațetă și figura vârfului. Gosset a considerat | p drept un operator, care poate fi aplicat la | q | ... | z | pentru a descrie un politop cu fețe p-gonale, cu figura vârfurilor | q | ... | z |.

Cazuri

Grupuri de simetrie

Simbolurile Schläfli sunt strâns legate de simetriile de reflexie ale grupurilor de simetrie (finite), care corespund exact grupurilor Coxeter finite, care sunt descrise prin aceiași indicatori, dar folosind în loc paranteze drepte: [p,q,r,...]. Astfel de grupuri sunt denumite adesea după politopurile regulate care le generează. De exemplu, [3,3] este grupul Coxeter pentru reflexiile simetriei tetraedrice, [3,4] este cel pentru reflexiile simetriei octaedrice, iar [3,5] este cel pentru reflexiile simetriei icosaedrice.

Poligoane regulate (plane)

Simbolul Schläfli al unui poligon regulat (convex) cu p laturi este {p}. De exemplu, un pentagon regulat este notat prin {5}.

Pentru poligoanele stelate (neconvexe), este folosită notația {^p⁄_q}, unde p este numărul vârfurilor iar q – 1 este numărul vârfurilor pete care se sare când se trasează laturile stelei. De exemplu, {⁵⁄₂} reprezintă pentagrama.

Poliedre regulate (tridimensionale)

Simbolul Schläfli al unui poliedru regulat ale cărui fețe sunt p-goane, iar în fiecare vârf se întâlnesc q fețe este {p,q} (figura vârfurilor este un q-gon).

De exemplu, {5,3} este dodecaedrul regulat. El are fețe pentagonale (cu 5 laturi) și câte 3 pentagoane în jurul fiecărui vârf.

A se vedea cele 5 poliedre regulate și cele 4 poliedre Kepler–Poinsot stelate (neconvexe).

Topologic, o teselare bidimensională poate fi privită ca un poliedru tridimensional, dar astfel încât deficitul unghiular este nul. Astfel, simbolurile Schläfli pot fi definite pentru teselări regulate a spațiilor euclidian și hiperbolic la fel ca pentru poliedre. Analogia funcționează și pentru dimensiuni superioare.

De exemplu, Pavarea hexagonală este reprezentată de {6,3}.

4-politopuri (în 4 dimensiuni) regulate

Simbolul Schläfli al unui 4-politop regulat este de forma {p,q,r}. Fețele sale (bidimensionale) sunt p-goane ({p}), celulele sunt poliedre regulate de tip {p,q}, figurile vârfurilor sunt poliedre regulate de tip {q,r}, iar fețele celulelor sunt r-goane regulate (de tip {r}).

A se vedea cele șase 4-politopuri regulate convexe și cele zece 4-politopuri regulate stelate (neconvexe).

De exemplu, 120-celule este reprezentat de {5,3,3}. Este format din celule dodecaedrice {5,3}, și are câte 3 celule în jurul fiecărei laturi.

Există o teselare regulată a spațiului tridimensuonal euclidian, fagurele cubic, cu simbolul Schläfli {4,3,4}, format din celule cubice, câte 4 cuburi în jurul fiecărei laturi.

Există și patru teselări hiperbolice regulate compacte, inclusiv {5,3,4}, fagurele dodecaedric de ordinul 4^⁠(d), care umple spațiul cu celule dodecaedrice.

n-politopuri regulatr (în dimensiuni superioare)

La politopurile regulate din dimensiuni superioare simbolul Schläfli este definit recursiv drept {p₁, p₂,...,p_n − 1} unde fațetele au simbolul Schläfli {p₁,p₂,...,p_n − 2} iar figura vârfurilor are simbolul Schläfli {p₂,p₃,...,p_n − 1}.

Simbolurile figurii vârfului unui politop și a figurii vârfului unei fațete a aceluiași politop sunt identice: {p₂,p₃,...,p_n − 2}.

Există doar trei politopuri regulate 5-dimensionale și în dimensiuni superioare: simplexul, {3,3,3,...,3}, hiperoctaedrul, {3,3, ..., 3,4} și hipercubul, {4,3,3,...,3}. Nu există politopuri regulate neconvexe în mai mult de 4 dimensiuni.

Politopuri duale

Dacă un politop dintr-o dimensiune n ≥ 2 are simbolul Schläfli {p₁,p₂, ..., p_n − 1} atunci el este dualul celui cu simbolul Schläfli {p_n − 1, ..., p₂,p₁}.

Dacă secvența este palindromică, politopul este autodual. Orice politop regulat din spațiul bidimensional (poligon) este autodual.

Politopuri prismatice

Politopurile prismatice uniforme pot fi definite drept un produs cartezian (cu operatorul „×”) al unor politopuri regulate din dimensiuni inferioare.

În 0D, un punct este reprezentat prin ( ). Diagrama sa Coxeter este vidă. Notația simetriei Coxeter este ][.
În 1D, un segment este reprezentat prin { }. Diagrama sa Coxeter este . Simetria sa este [ ].
În 2D, un dreptunghi este reprezentat prin { } × { }. Diagrama sa Coxeter este . Simetria sa este [2].
În 3D, o prismă p-gonală este reprezentată prin { } × {p}. Diagrama sa Coxeter este . Simetria sa este [2,p].
În 4D, o prismă {p,q}-edrică uniformă este reprezentată prin { } × {p,q}. Diagrama sa Coxeter este . Simetria sa este [2,p,q].
În 4D, o duoprismă uniformă p-q este reprezentată prin {p} × {q}. Diagrama sa Coxeter este . Simetria sa este [p,2,q].

Dualele prismatice, sau bipiramide, pot fi reprezentate prin simboluri compuse, folosind operatorul "+".

În 2D, un romb este reprezentat prin { } + { }. Diagrama sa Coxeter este . Simetria sa este [2].
În 3D, o bipiramidă p-gonală este reprezentată prin { } + {p}. Diagrama sa Coxeter este . Simetria sa este [2,p].
În 4D, o bipiramidă {p,q}-edrică este reprezentată prin { } + {p,q}. Diagrama sa Coxeter este . Simetria sa este [p,q].
În 4D, o duopiramidă p-q este reprezentată prin {p} + {q}. Diagrama sa Coxeter este . Simetria sa este [p,2,q].

Politopurile piramidale care conțin vârfuri decalate ortogonal pot fi reprezentate folosind un operator de reuniune (lipire), "∨". Fiecare pereche de vârfuri aflate între figurile lipite este conectată prin laturi.

În 2D, un triunghi isoscel poate fi reprezentat prin ( ) ∨ { } = ( ) ∨ [( ) ∨ ( )].
În 3D:
- Un bisfenoid digonal poate fi reprezentat prin { } ∨ { } = [( ) ∨ ( )] ∨ [( ) ∨ ( )].
- O piramidă p-gonală este reprezentată prin ( ) ∨ {p}.
În 4D:
- O piramidă p-q-edrică este reprezentată prin ( ) ∨ {p,q}.
- Un 4-politop este reprezentat prin ( ) ∨ [( ) ∨ {3}] sau [( ) ∨ ( )] ∨ {3} = { } ∨ {3}.
- O piramidă pătrată piramidală este reprezentată prin ( ) ∨ [( ) ∨ {4}] sau [( ) ∨ ( )] ∨ {4} = { } ∨ {4}.

Când există mai mulți operatori, ordinea operațiilor de la cel mai prioritar la ultimul este ×, +, ∨.

Politopurile axiale care conțin vârfuri pe hiperplane paralele pot fi reprezentate prin operatorul „||”. O prismă uniformă este {n}||{n} iar antiprisma {n}||r{n}.

Extensii ale simbolurilor Schläfli

Pavări ale poligoanelor și cercurilor

Prin trunchiere un poligon regulat își dublază numărul de laturi. La un poligon regulat cu un număr par de laturi, acestea pot împărțite în două jumătăți disjuncte. Un 2n-gon regulat generează o figură stelată compusă, 2{n}.

Forma	Simbolul Schläfli	Simetrii	diagramă Coxeter
Regulat	{p}	[p]		hexagon
Trunchiat	t{p} = {2p}	[[p]] = [2p]	=	hexagon trunchiat (dodecagon)	=
Alternat și stelat	a{2p} = β{p}	[2p]	=	hexagon modificat (hexagramă)	=
Înjumătățit	h{2p} = s{p} = {p}	[1⁺,2p] = [p]	= =	jumătate de hexagon (triunghi)	= =

Poliedre și pavări

Coxeter a extins folosirea simbolurilor Schläfli la poliedre cvasiregulate prin adăugarea la simbol a unei dimensiuni verticale. A fost punctul de pornire pentru diagrame Coxeter mai generale. Norman Johnson a simplificat notația pentru simbolurile verticale prin prefixul r. t-notația este cea mai generală și coresponde direct cercurilor din diagramele Coxeter. Simbolurile indică alternarea, înlocuirea cercurilor cu găuri în diagramele Coxeter iar prefixul h însemnând half (română jumătate), construcții limitate de cerința ca ramurile învecinate să fie ordonate par, și reduc ordinul de simetrie la jumătate. Operatorul asociat a, de la alternat, este indicat de două găuri imbricate, reprezintă un poliedru compus cu ambele componente înjumătățite și alternate, conservând simetriile originare. Operația snub este o trunchiere înjumătățită, iar cea holosnub este o trunchiere înjumătățită și alternată.

Forma	Simbolurile Schläfli			Simetrii Coxeter
Regulat	${\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	{p,q}	t₀{p,q}	[p,q] sau [(p,q,2)]	cub
Trunchiat	$t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	t{p,q}	t_0,1{p,q}		cub trunchiat
Bitrunchiat (Trunchiat dual)	$t{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	2t{p,q}	t_1,2{p,q}		octaedru trunchiat
Rectificat (Cvasiregulat)	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	r{p,q}	t₁{p,q}		cuboctaedru
Birectificat (Regulat dual)	${\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	2r{p,q}	t₂{p,q}		octaedru
Teșit (Rectificat rectificat)	$r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	rr{p,q}	t_0,2{p,q}		rombcuboctaedru
Omnitrunchiat (Trunchiat rectificat)	$t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	tr{p,q}	t_0,1,2{p,q}		cuboctaedru trunchiat

Alternări, sferturi și snuburi

Alternările au pe jumătate din simetriile grupurilor Coxeter și sunt reprezentate prin cerculețe goale. Există două posibilități de alegere a jumătății de vârfuri reținute, dar simbolul nu precizează care este cea aleasă. Formele sfert sunt reprezentate prin cerculețe cu „+” în ele și însemnaă două alternări independente.

Alternări
Forma	Simbolurile Schläfli			Simetrii Coxeter	Diagramă Coxeter
Alternat regulat	$h{\begin{Bmatrix}2p,q\end{Bmatrix}}$	h{2p,q}	ht₀{2p,q}	[1⁺,2p,q]	=	semicub (tetraedru)
Regulat snub	$s{\begin{Bmatrix}p,2q\end{Bmatrix}}$	s{p,2q}	ht_0,1{p,2q}	[p⁺,2q]
Regulat dual snub	$s{\begin{Bmatrix}q,2p\end{Bmatrix}}$	s{q,2p}	ht_1,2{2p,q}	[2p,q⁺]		octaedru snub (icosaedru)
Alternat rectificat (p și q la fel)	$h{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	hr{p,q}	ht₁{p,q}	[p,1⁺,q]
Alternat rectificat rectificat (p și q la fel)	$hr{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	hrr{p,q}	ht_0,2{p,q}	[(p,q,2⁺)]
Sfert (p și q sunt la fel)	$q{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	q{p,q}	ht₀ht₂{p,q}	[1⁺,p,q,1⁺]
Rectificat snub (cvasiregulat snub)	$s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	sr{p,q}	ht_0,1,2{p,q}	[p,q]⁺		cuboctaedru snub (cub snub)

Alternate și holosnuburi

Formele alternate și holosnub au simetria completă a grupului Coxeter, și sunt reprezentate prin două cerculețe goale, dar pot fi reprezentate prin compuși.

Alternate și holosnuburi
Forma	Simbolurile Schläfli			Simetrii Coxeter	Diagramă Coxeter		Exemple pentru {4,3}
Regulat alternat	$a{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	a{p,q}	at₀{p,q}	[p,q]	= ∪			octaedru stelat
Regulat dual holosnub	$ß$ $a{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	ß{q,p}	at_0,1{q,p}	[p,q]				compus de două icosaedre

ß, având aspectul literei grecești „beta” (β), este de fapt litera germană „eszett”.

4-politopuri și faguri

Familii liniare
Forma	Simbolul Schläfli
Regulat	${\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	{p,q,r}	t₀{p,q,r}	tesseract
Trunchiat	$t{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	t{p,q,r}	t_0,1{p,q,r}	tesseract trunchiat
Rectificat	$\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	r{p,q,r}	t₁{p,q,r}	tesseract rectificat	=
Bitrunchiat		2t{p,q,r}	t_1,2{p,q,r}	tesseract bitrunchiat
Birectificat (dual rectificat)	$\left\{{\begin{array}{l}q,p\\r\end{array}}\right\}$	2r{p,q,r} = r{r,q,p}	t₂{p,q,r}	16-celule rectificat	=
Tritrunchiat (dual trunchiat)	$t{\begin{Bmatrix}r,q,p\end{Bmatrix}}$	3t{p,q,r} = t{r,q,p}	t_2,3{p,q,r}	tesseract bitrunchiat
Trirectificat (dual)	${\begin{Bmatrix}r,q,p\end{Bmatrix}}$	3r{p,q,r} = {r,q,p}	t₃{p,q,r} = {r,q,p}	16-celule
Teșit	$r\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	rr{p,q,r}	t_0,2{p,q,r}	tesseract teșit	=
Teșit trunchiat	$t\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	tr{p,q,r}	t_0,1,2{p,q,r}	tesseract teșit trunchiat	=
Runcinat (expandat)	$e_{3}{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	e₃{p,q,r}	t_0,3{p,q,r}	tesseract runcinat
Runcitrunchiat			t_0,1,3{p,q,r}	tesseract runcitrunchiat
Omnitrunchiat			t_0,1,2,3{p,q,r}	tesseract omnitrunchiat

Alternări, sferturi și snuburi

Alternări
Forma	Simbolul Schläfli
Alternări
Jumătate (p par)	$h{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	h{p,q,r}	ht₀{p,q,r}	16-celule
Sfert (p și r la fel)	$q{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	q{p,q,r}	ht₀ht₃{p,q,r}
Snub (q par)	$s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	s{p,q,r}	ht_0,1{p,q,r}	Snub 24-celule
Rectificat snub (r par)	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	sr{p,q,r}	ht_0,1,2{p,q,r}	24-celule rectificat snub	=
Duoprismă alternată		s{p}s{q}	ht_0,1,2,3{p,2,q}	duoantiprismă minunată

Familii bifurcate

Familii bifurcate
Forma	Simbolul Schläfli extins
Cvasiregulat	$\left\{p,{q \atop q}\right\}$	{p,q^1,1}	t₀{p,q^1,1}	16-celule
Trunchiat	$t\left\{p,{q \atop q}\right\}$	t{p,q^1,1}	t_0,1{p,q^1,1}	16-celule trunchiat
Rectificat	$\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	r{p,q^1,1}	t₁{p,q^1,1}	24-celule
Teșit	$r\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	rr{p,q^1,1}	t_0,2,3{p,q^1,1}	16-celule teșit
Teșit trunchiat	$t\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	tr{p,q^1,1}	t_0,1,2,3{p,q^1,1}	[[16-celule teșit trunchiat
Rectificat snub	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	sr{p,q^1,1}	ht_0,1,2,3{p,q^1,1}	24-celule snub
Cvasiregulat	$\left\{r,{p \atop q}\right\}$	{r,/q\,p}	t₀{r,/q\,p}
Trunchiat	$t\left\{r,{p \atop q}\right\}$	t{r,/q\,p}	t_0,1{r,/q\,p}
Rectificat	$\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	r{r,/q\,p}	t₁{r,/q\,p}
Teșit	$r\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	rr{r,/q\,p}	t_0,2,3{r,/q\,p}
Teșit trunchiat	$t\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	tr{r,/q\,p}	t_0,1,2,3{r,/q\,p}
Rectificat snub	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\r\end{array}}\right\}$	sr{p,/q,\r}	ht_0,1,2,3{p,/q\,r}

Teselări

Sferice

Regulate

{4,4}
{6,3}

Semiregulate

Hiperbolice

sr{5,4}
sr{6,4}
sr{7,4}
sr{8,4}
sr{∞,4}
s{5,4}
sr{6,5}
s{6,4}
sr{8,6}
sr{7,7}
s{8,4}
s{4,6}
sr{∞,∞}
sr{7,3}
sr{8,3}
sr{∞,3}

s{3,8}
{3,7}
{3,8}
{3,∞}
h{8,3}
h{6,4}
q{4,6}
rr{7,3}
rr{8,3}
rr{∞,3}
h₂{8,3}
r{7,3}
r{8,3}
t{7,3}
t{8,3}
r{∞,3}

t{∞,3}
rr{5,4}
rr{6,4}
rr{7,4}
rr{8,4}
rr{∞,4}
{4,5}
{4,6}
{4,7}
{4,8}
{4,∞}
r{5,4}
r{6,4}
tr{6,3}
tr{7,3}
???

tr{8,3}
???
tr{∞,3}
r{7,4}
r{8,4}
tr{5,4}
???
tr{6,4}
tr{7,4}
tr{8,4}
tr{∞,4}
t{5,4}
tr{6,5}
t{6,4}
tr{8,6}
t{7,4}

t{8,4}
t{∞,4}
r{∞,4}
{5,4}
{5,5}
{5,6}
{5,∞}
rr{6,5}
r{6,5}
t{4,5}
t{5,5}
t{6,5}
r{∞,5}
{6,4}
{6,5}
{6,6}

{6,8}
rr{8,6}
r{8,6}
t{4,6}
t{5,6}
t{6,6}
t{8,6}
{7,3}
{7,4}
{7,7}
t{3,7}
t{4,7}
t{7,7}
{8,3}
{8,4}
{8,6}
{8,8}

Note

^ Coxeter, Regular…, p. 143
^ Coxeter, Regular…, p. 129
^ Coxeter, Regular…, p. 138
^ Coxeter, Regular…, p. 144

Bibliografie

en Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes (ed. 3rd). §7.2. see illustration Fig. 7-2C: Dover Publications. pp. 122-123. ISBN 0-486-61480-8. p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n dimensions (n ≥ 5)

Lectură suplimentară

en Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C.; Weiss, Asia Ivic, ed. (1995). Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter. Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Paper 22) pp. 251–278 Coxeter, H.S.M. (1940). „Regular and Semi Regular Polytopes I”. Math. Zeit. 46: 380–407. doi:10.1007/BF01181449. Zbl 0022.38305. MR 2,10
- (Paper 23) pp. 279–312 — (1985). „Regular and Semi-Regular Polytopes II”. Math. Zeit. 188 (4): 559–591. doi:10.1007/BF01161657. Zbl 0547.52005.
- (Paper 24) pp. 313–358 — (1988). „Regular and Semi-Regular Polytopes III”. Math. Zeit. 200 (1): 3–45. doi:10.1007/BF01161745. Zbl 0633.52006.

Legături externe

Portal Matematică

en Schlaefli Symbol, (română Simbol Schläfli) la Mathworld

[1] Coxeter, Regular…, p. 143

[2] Coxeter, Regular…, p. 129

[3] Coxeter, Regular…, p. 138

[4] Coxeter, Regular…, p. 144

[1]

[2]

[3]

[4]