Inversarea matricilor

Acest articol sau secțiune are mai multe probleme. Puteți să contribuiți la rezolvarea lor sau să le comentați pe pagina de discuție. Pentru ajutor, consultați pagina de îndrumări. Îi lipsesc notele de subsol. Marcat din octombrie 2021. Are bibliografia incompletă sau inexistentă. Marcat din mai 2010. Relevanța unor informații este disputată. Marcat din octombrie 2021.  Nu ștergeți etichetele înainte de rezolvarea problemelor.

În algebra liniară, o matrice pătrată A n × n se numește inversabilă (sau nesingulară sau nedegenerată), dacă exisă o matrice pătrată B n × n astfel încât

${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}}$

unde I_n este matricea unitate n × n, iar înmulțirea se face după regula obișnuită a înmulțirii matricilor. În acest caz matricea B este determinată în mod unic de A, și este numită inversa lui A, notată A⁻¹.^[1][2] Inversarea unei matrice este procesul de calcul al matricei B.

Matricea ${\displaystyle \mathbf {A} }$ de ${\displaystyle n\times n}$ se numește inversabilă dacă și numai dacă aceasta este nesingulară și există o altă matrice ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$ de ${\displaystyle n\times n}$ astfel încât produsul lor să fie matricea unitate (${\displaystyle \mathbf {I} _{n}}$)^[3], mai exact

$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {I} _{n}}$$

O matrice pătrată ${\displaystyle \mathbf {A} }$ este nesingulară respectiv singulară dacă determinantul matricei ${\displaystyle \mathbf {A} }$ este nenul (${\displaystyle \det \mathbf {A} \neq 0}$) respectiv nul (${\displaystyle \det \mathbf {A} =0}$).

Inversa unei matrice ${\displaystyle 2\times 2}$ se calculează în felul următor:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}$

Unde ${\textstyle {\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}$se mai notează cu ${\displaystyle A^{*}}$.

Metoda Cayley-Hamilton dă următoarea formula:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\left[\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)\mathbf {I} -\mathbf {A} \right]}$

unde ${\displaystyle \operatorname {tr} \mathbf {A} }$ este suma elementelor de pe diagonala principală din ${\displaystyle \operatorname {tr} \mathbf {A} }$, numită urma unei matrice (din engleză trace)

Modul de calcul a inversei unei matrice ${\displaystyle 3\times 3}$ este asemănător cu cel anterior de ${\displaystyle 2\times 2}$, întrucât:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}}$

(A nu se confunda scalarul ${\displaystyle A}$ cu matricea ${\displaystyle \mathbf {A} }$)

Unde elementele din cea de-a doua matrice (din nou des notată cu ${\displaystyle A^{*}}$) sunt calculate în felul următor: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}A&={}&(ei-fh),&\quad &D&={}&-(bi-ch),&\quad &G&={}&(bf-ce),\\B&={}&-(di-fg),&\quad &E&={}&(ai-cg),&\quad &H&={}&-(af-cd),\\C&={}&(dh-eg),&\quad &F&={}&-(ah-bg),&\quad &I&={}&(ae-bd).\\\end{alignedat}}}$$

Se observă că scalarul ${\displaystyle A}$ este determinantul matricei formate prin îndepărtarea din matricea ${\displaystyle \mathbf {A} }$ a coloanei și a rândului ce îl conțineau pe ${\displaystyle a}$, împreună cu semnul său (elementele de pe diagonale având semnul „+”, iar celelalte „−”).

Relația Cayley-Hamilton aferentă matricilor de ${\displaystyle 3\times 3}$ este următoarea: ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\frac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right]\mathbf {I} -\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}\right)}$

• Matrice inversabile - teorie
• Matrice inversabile - exemplu de calcul