În matematică, mai precis în analiza reală, o nedeterminare este o operație nedefinită care poate apărea la aflarea unei limite.
Spre exemplu, dacă
și
, atunci
este o nedeterminare de tip 0 / 0. Cuvântul „nedeterminare” se referă faptului că, operația respectivă nefiind definită, simplul fapt că
și
nu este suficient pentru a determina valoarea limitei
, sau chiar dacă această limită există. Acest exemplu este detaliat mai jos.
Nu toate operațiile imposibil de efectuat care apar în determinarea unei limite sunt nedeterminări. De pildă, chiar dacă împărțirea cu zero nu este definită în cadrul algebrei numerelor reale, operația a / 0 nu este considerată o nedeterminare când a ≠ 0, pentru că determinarea limitei corespunzătoare este ușoară, existând un singur rezultat. Există șapte tipuri de nedeterminări:
și ![{\displaystyle \infty ^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11de4ceabc3b9f55ecda7f863c1523ac5c62d941)
Faptul de a determina existența și valoarea unei limite sub formă nedeterminată se numește ridicarea nedeterminării. Exisță diverse metode și teoreme pentru a ridica o nedeterminare, precum regula lui l'Hôpital.
Fie f și g două funcții astfel încât
. În general,
este o nedeterminare, pentru că, chiar dacă există, limita poate lua orice valoare. De exemplu:
și ![{\displaystyle g(x)=x\implies f(x)/g(x)=a\implies \lim _{x\to 0}f(x)/g(x)=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c05df1a9b056eee9024bd094d04dabb1200f85)
și ![{\displaystyle g(x)=x\implies f(x)/g(x)=x\implies \lim _{x\to 0}f(x)/g(x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6fb32835acdd85e168333a325a351590dc97d1)
și ![{\displaystyle g(x)=x^{2}\implies f(x)/g(x)={\tfrac {1}{|x|}}\implies \lim _{x\to 0}f(x)/g(x)=+\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd3890f8e233f1ad549b755c5976915b797217f)
De fapt, se poate și să nu existe limita:
și
nu există, pentru că limita raportului ![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)/g(x)=-\infty \neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x)/g(x)=+\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19726b65260038d8138971c1605c08052f1bc0c7)
și
nu există, pentru că
oscilează între
și
în vecinătatea lui
.
Dacă
dar
, limita
nu este considerată o nedeterminare, pentru că valoarea limitei depinde numai de semnul lui a și semnul lui g în vecinitatea lui 0. Spre exemplu, dacă există
astfel încăt
pentru orice
cu
:
![{\displaystyle a>0\implies \lim _{x\to 0}f(x)/g(x)=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b7152307518795fb2f0f1d2a7980d78a7dba45)
.
Și dacă
pentru orice
cu
:
![{\displaystyle a>0\implies \lim _{x\to 0}f(x)/g(x)=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f1449ebf353e9ab1b528323b0a9b1e48f1a534)
.
Însă, dacă semnul lui g nu este constant în vecinitatea lui 0, limita nu există.
Tabelul următor detailează șaptele tipuri de nedeterminări. Aici,
.
Nedeterminarea | Limita dorită | Limita lui ![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61) | Limita lui |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
Expresii ca
sau
nu sunt nedeterminări, chiar dacă nu sunt definite în cadrul algebrei numelor reale.
Chiar dacă există șapte tipuri de nedeterminări, în realitate toate sunt echivalente, în sensul că există operații care transformă un tip de nedeterminare într-un alt. De exemplu, dacă
este de tip
, atunci
, care este de tip 0 / 0. În mod asemănător, dacă
și
este de tip
, atunci
și, prin continuitatea funcții exponențiale,
, cu
de tip
.