Гиппократовы луночки — Википедия

Гиппокра́товы лу́ночки — серповидные фигуры, указанные Гиппократом Хиосским, ограниченные дугами двух окружностей. Их особенность состоит в том, что эти фигуры можно квадрировать, то есть с помощью циркуля и линейки можно построить равновеликие им прямоугольники. Гиппократ надеялся на этом пути решить проблему «квадратуры круга», однако существенного прогресса не добился.

Простейший пример показан на рисунке. Луночка ограничена двумя дугами — полуокружностью с диаметром на гипотенузе ${\displaystyle AB}$ равнобедренного прямоугольного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ и дугой окружности с центром в ${\displaystyle C}$. При этом площадь заштрихованной луночки равна площади ${\displaystyle \triangle ABC}$.

Действительно, площадь полукруга ${\displaystyle P}$ с диаметром ${\displaystyle AB}$, равна площади сектора ${\displaystyle S}$ на дуге ${\displaystyle AB}$ с центром ${\displaystyle C}$. Следовательно, площадь луночки ${\displaystyle P\backslash S}$ равна площади треугольника ${\displaystyle \triangle ABC=S\backslash P}$.

Гиппократ получил три квадрируемые луночки. Даниил Бернулли в «Математических упражнениях» (1724) указал условие (см. нижеприведенные отношения углов), которому должны удовлетворять алгебраически квадрируемые луночки, и привёл уравнение, дающее четвёртую квадрируемую луночку^[1]. Немного позднее финский математик Валлениус (1766) и независимо от него Леонард Эйлер (1771) тоже обнаружили ту же четвёртую и в дополнение к ней ещё одну, пятую луночку^[2]. В 1840 году Томас Клаузен независимо обнаружил и исследовал те же два негиппократовых типа квадрируемых луночек.

Позднее, в 1930-е годы, Н. Г. Чеботарёв и А. В. Дороднов доказали, что если угловые меры внешней и внутренней дуг луночек соизмеримы, то других типов квадрируемых луночек, кроме указанных пяти, не существует^[3]. Если обозначить угловые меры внешней и внутренней дуг луночек символами ${\displaystyle \alpha ,\beta }$, то пяти типам квадрируемых луночек соответствуют следующие отношения ${\displaystyle \alpha :\beta }$.

• (Луночки Гиппократа) ${\displaystyle 2:1;\;3:2;\;3:1.}$ Углы: (180°:90°), (160,9°:107,2°), (205,6°:68,5°).
• (Прочие) ${\displaystyle 5:1;\;5:3.}$ Углы: (234.4°:46.9°) и (168.0°:100.8°).

• Белозеров С. Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. — Ростов: изд-во Ростовского университета, 1975. — 320 с.
• Буницкий Е. Способ построения группы луночек, сумма которых квадрируется (рус.) // В.О.Ф.Э.М.. — 1893. — № 175. — С. 159—161.
• Чеботарев Н. Г. Основы теории Галуа, Часть 1. М.: Эдиториал УРСС, 2004, 224c. ISBN 5-354-00941-3.