Равнобедренный треугольник — Википедия
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Triangle.Isosceles.svg/200px-Triangle.Isosceles.svg.png)
Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны имеют равную длину. Боковыми называются равные стороны, а третья сторона — основанием. Каждый правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно[1].
Терминология
[править | править код]Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании[1].
Евклид определил равнобедренный треугольник как треугольник, который имеет две равные стороны, но современная трактовка[2] предпочитает определение, где треугольник имеет хотя бы две равные стороны, определяя таким образом равносторонний треугольник как частный случай равнобедренного.
Симметрия
[править | править код]Треугольник с двумя равными сторонами имеет одну ось симметрии, которая проходит через вершинный угол и середину основания. Эта ось симметрии совпадает с биссектрисой вершинного угла, медианой, проведённой к основанию, высотой, проведённой из вершинного угла и с серединным перпендикуляром[3][уточнить].
Свойства
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/%D0%A0%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D0%B4%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA.svg/220px-%D0%A0%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D0%B4%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA.svg.png)
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
Пусть a — длина равных боковых сторон, b — длина основания, h — высота к основанию, R — радиус описанной окружности
- (следствие теоремы косинусов);
- ;
- (следствие теоремы косинусов);
- ;
- (теорема о проекциях);
Радиус вписанной окружности может быть выражен пятью способами в зависимости от того, какие два параметра равнобедренного треугольника известны:
Углы могут быть выражены следующими способами:
- (теорема синусов).
- Угол также может быть найден без и . Треугольник делится медианой пополам, и в полученных двух равных прямоугольных треугольниках вычисляются углы :
Периметр равнобедренного треугольника находится следующими способами:
- (по определению);
- (следствие теоремы синусов).
Площадь треугольника находится следующими способами:
Теорема Лемуса-Штейнера
[править | править код]Если две биссектрисы треугольника равны, то этот треугольник — равнобедренный.
Лемус, Штейнер, XIX в.
Доказан этот признак равнобедренного треугольника был только в XIX веке двумя математиками, Лемусом и Штейнером, которые обменивались письмами в течение нескольких лет.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 3 Справочник по элементарной математике, 1978, с. 218—240.
- ↑ Stahl 2003, стр. 37 .
- ↑ Ostermann & Wanner. . — 2012. — С. 55, упражнение 7.
- ↑ Шахмейстер А. Х. Треугольники и параллелограммы // Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия : [арх. 20 февраля 2023] : книга / А. Х. Шахмейстер. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2015. — С. 147. — 392 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 1500 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512(G). — ISBN 978-5-98712-083-5. — ISBN 978-5-91673-155-2. — ISBN 978-5-4439-0347-7.
Литература
[править | править код]- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — 25-е изд. — М.: Наука, 1978. — 336 с.
- Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 с.