Линейная операция — Википедия

Лине́йная опера́ция над векторами — операция сложения векторов либо операция умножения вектора на число^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]. Иногда к этим двум операциям добавляют операцию вычитания векторов^[8].

Определение

Линейные операции над векторами — операции сложения векторов, вычитания векторов и умножения вектора на скаляр. Эти операции называются линейными потому, что если над векторами $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ , $\mathbf {c}$ и $\mathbf {d}$ выполнить конечное количество произвольных действий сложения, вычитания и умножения на скаляр, то в результате получится новый вектор — линейная комбинация исходных векторов

\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} +\gamma \mathbf {c} +\delta \mathbf {d}

,

где $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ – скаляры (действительные числа)^[8].

Сложение векторов

Сложе́ние векторо́в, или геометри́ческое сложе́ние векторо́в^[9] (англ. addition of vectors) — операция, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — сумму векторов^[10]. При этом сумма $\mathbf {a} +\mathbf {b}$ двух векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ — это третий вектор $\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b}$ , проведённый из начала одного вектора к концу второго, причём конец первого вектора совпадает с началом второго (правило треугольника). Сумма векторов геометрически строится с помощью правил — алгоритмов построения вектора суммы по векторам-слагаемым (см. рисунок с треугольником сложения векторов справа)^[11]^[4]^[12]^[9]^[13].

Три вектора $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b}$ всегда компланарны, то есть параллельны одной плоскости^[14].

Векторы, которые складываются, называются слагаемыми векторами, а результат сложения — геометрической суммой, или результирующим вектором^[15].

Результат сложения векторов не зависит от расположения первого слагаемого, при его изменении треугольник сложения будет параллельно перенесён^[12].

Существуют два действия, обратных сложению векторов^[16]:

Законы сложения

Операция сложения в математике в векторной алгебре векторов как геометрическое построение по правилу многоугольника возникла как обобщение операции вычисления равнодействующей силы в механике. Правомерность названия «сложение» заключается также и в том, что операция сложения векторов подчиняется тем же двум законам, что и арифметическая операция сложения чисел, а именно^[17]:

Эти законы и аналогичные законы для сложения чисел записываются одинаково. Что не только важно, но и удобно, поскольку позволяет работать с векторными равенствами, не переучиваясь, так же, как с числовыми равенствами. Эта аналогия распространяется и на вычитание векторов, а также действия с равенствами векторов^[18].

Вычитание векторов

Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычита́ние векторо́в (англ. subtraction of vectors) — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое^[19]^[20]^[21]^[22]^[23]. При этом разность $\mathbf {a} -\mathbf {b}$ двух векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ — это третий вектор $\mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b}$ такой, что $\mathbf {c} +\mathbf {b} =\mathbf {a}$ (см. рисунок справа с треугольником вычитания векторов)^[24]^[25]^[26]^[27]^[28]^[23]. Первый вектор разности называется уменьшаемым, а второй — вычитаемым^[29]^[21]^[22]^[23].

Умножение вектора на число

Умноже́ние ве́ктора на число́ (англ. scalar multiplication of a vector) – операция, ставящая в соответствие вектору и числу другой коллинеарный вектор — произведение вектора на это число^[30]. При этом произведение вектора и числа в случае ненулевых вектора и числа — новый вектор, у которого^[31]^[26]^[27]:

модуль равен произведению модуля исходного вектора на абсолютную величину числа;
направление, совпадающее с направлением исходного вектора, если число положительно, и противоположное, если число отрицательно (см. рисунок справа).

Обозначение произведения вектора $\mathbf {a}$ и скаляра $\lambda$ следующее^[31]^[26]^[27]:

\mathbf {a} \lambda

или

\lambda \mathbf {a} .

В итоге получаем^[31]:

|\lambda \mathbf {a} |=|\mathbf {a} \lambda |=|\lambda ||\mathbf {a} |.

Произведение вектора и числа равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю^[31]^[26]^[27]:

\lambda \mathbf {0} =0\mathbf {a} =\mathbf {0} .

Существуют два действия, обратных умножению вектора на число:

Законы умножения на скаляр

Три закона умножения вектора на скаляр те же самые, что и законы умножения чисел^[31]:

переместительности (коммутативность):

\lambda \mathbf {a} =\mathbf {a} \lambda

;

сочетательности (ассоциативность):

\lambda (\mu \mathbf {a} )=(\lambda \mu )\mathbf {a}

;

распределительности (дистрибутивность):

(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\lambda =\mathbf {a} \lambda +\mathbf {b} \lambda

;

(\lambda +\mu )\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a}

.

Разложение вектора

Геометрическое вычитание векторов — операция, обратная геометрическому сложению векторов. Кроме неё, обратной операцией к сложению векторов является геометрическое разложение вектора, или просто разложение вектора — операция представления данного вектора в виде замыкающей нескольких векторов. Геометрически строится ломаная линия, которую замыкает данный вектор. Но так эту операцию определить нельзя, и чтобы её определить, нужно наложить на геометрические слагаемые определённые условия^[16].

Применение линейных операций

Применение линейных операций — использование линейных операций над векторами:

для решения математических и физических задач. Рассмотрим несколько примеров решения задач разной степени трудности с применением векторов. Использование векторов делает предложенные задачи^[32]:

вычислительными, то есть сводит чисто геометрические рассуждения (с треугольниками, трапециями, средними линиями. медианами и так далее) к вычислениям с векторами, обычно достаточно простыми;
решаемыми при желании без помощи чертежей, которые обычно представляют только один частный случай задачи, что вызывает сомнение в их универсальности;
параллельное доказательство похожих (и, возможно, различно сформулированных) планиметрических и стереометрических закономерностей.

Коллинеарность и компланарность точек

Задача 1. Три точки $A$ , $B$ и $C$ , где

{\overrightarrow {OA}}=\mathbf {a}

,

{\overrightarrow {OB}}=\mathbf {b}

,

{\overrightarrow {OC}}=\mathbf {c}

,

\mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b}

,

тогда и только тогда коллинеарны, то есть лежат на одной прямой, когда (см. рисунок справа)

\lambda +\mu =1

.

Исключение: коллинеарность векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ , когда три точки $A$ , $B$ и $C$ всегда лежат на одной прямой при любых числах $\lambda$ и $\mu$ ^[33].

Решение^[34]

1. Необходимость. Пусть три точки $A$ , $B$ и $C$ лежат на одной прямой (см. рисунок справа вверху). Тогда векторы ${\overrightarrow {AB}}=\mathbf {b} -\mathbf {a}$ и ${\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a}$ коллинеарны, то есть

\mathbf {c} -\mathbf {a} =\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )

,

следовательно,

\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )=(1-\mu )\mathbf {a} +\mu \mathbf {b}

,

но разложение вектора $\mathbf {c}$ по векторам $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ единственно при их неколлинеарности, поэтому окончательно получаем^[33]:

\lambda =1-\mu

,

\quad \lambda +\mu =1

.

2. Достаточность. Обратно, пусть $\lambda +\mu =1$ , тогда

\mathbf {c} -\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} -\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} -(\lambda +\mu )\mathbf {a} =\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )

,

поэтому векторы ${\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a}$ и ${\overrightarrow {AB}}=\mathbf {b} -\mathbf {a}$ коллинеарны и отложены от одной и той же точки $A$ , следовательно, три точки $A$ , $B$ и $C$ лежат на одной прямой^[34].

Замечание. Уравнение $\mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b}$ с ограничением $\lambda +\mu =1$ — относительно полюса $O$ векторное уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки $A$ и $B$ , $\mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}}$ , $\mathbf {b} ={\overrightarrow {OB}}$ , $\mathbf {c} ={\overrightarrow {OC}}$ . При этом значения коэффициентов $\lambda$ и $\mu$ вычисляются как частные векторов^[35]:

\lambda ={\frac {\overrightarrow {BC}}{\overrightarrow {BA}}};

\quad \mu ={\frac {\overrightarrow {AC}}{\overrightarrow {AB}}}.

Задача 1'. Найти такой радиус-вектор ${\overrightarrow {OC}}=\mathbf {c}$ , который делит отрезок $AB$ в данном отношении ${\frac {x}{y}}=\nu$ ^[35]^[36]^[37].^[38]

Решение. Используя полученные результаты, имеем, учитывая, что в данном случае коэффициенты $\lambda ,\mu \geqslant 0$ ^[35]:

{\frac {AC}{CB}}={\frac {x}{y}}=\nu

,

{\frac {AC}{AB}}={\frac {AC}{AC+CB}}={\frac {x}{x+y}}=\mu

,

\lambda =1-\mu ={\frac {y}{x+y}}

,

\mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ={\frac {y\mathbf {a} +x\mathbf {b} }{x+y}}={\frac {\mathbf {a} +\nu \mathbf {b} }{1+\nu }}

.

Можно провести вычисления короче^[36]:

{\overrightarrow {AC}}=\nu {\overrightarrow {CB}}

,

\mathbf {c} -\mathbf {a} =\nu (\mathbf {b} -\mathbf {c} )

,

\mathbf {c} ={\frac {\mathbf {a} +\nu \mathbf {b} }{1+\nu }}

.

В частности, при ${\frac {AC}{CB}}={\frac {x}{y}}=\nu =1$ имеем:

\mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ={\frac {\mathbf {a} +\mathbf {b} }{2}}

,

другими словами, радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиусов-векторов его концов^[36]^[39].

Задача 2. Четыре точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ , где

{\overrightarrow {OA}}=\mathbf {a}

,

{\overrightarrow {OB}}=\mathbf {b}

,

{\overrightarrow {OC}}=\mathbf {c}

,

{\overrightarrow {OD}}=\mathbf {d}

,

\mathbf {d} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\mu \mathbf {c}

,

тогда и только тогда компланарны, то есть лежат в одной плоскости, когда (см. рисунок справа)

\lambda +\mu +\nu =1

.

Исключение: компланарность векторов $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ , когда четыре точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ всегда лежат в одной плоскости при любых числах $\lambda$ , $\mu$ и $\nu$ ^[35].

Решение^[40]

1. Необходимость. Пусть четыре точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ лежат в одной плоскости. Тогда векторы ${\overrightarrow {AB}}=\mathbf {b} -\mathbf {a}$ , ${\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a}$ и ${\overrightarrow {AF}}=\mathbf {d} -\mathbf {a}$ компланарны, то есть

\mathbf {d} -\mathbf {a} =\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )+\nu (\mathbf {c} -\mathbf {a} )

,

следовательно,

\mathbf {d} =\mathbf {a} +\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )+\nu (\mathbf {c} -\mathbf {a} )=(1-\mu -\nu )\mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\nu \mathbf {c}

,

но разложение вектора $\mathbf {d}$ по векторам $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ единственно при их некомпланарности, поэтому окончательно получаем^[40]:

\lambda =1-\mu -\nu

,

\quad \lambda +\mu +\nu =1

.

2. Достаточность. Обратно, пусть $\lambda +\mu +\nu =1$ , тогда

\mathbf {d} -\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\nu \mathbf {c} -\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\nu \mathbf {c} -(\lambda +\mu +\nu )\mathbf {a} =\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )+\nu (\mathbf {c} -\mathbf {a} )

,

поэтому векторы ${\overrightarrow {AD}}=\mathbf {d} -\mathbf {a}$ , ${\overrightarrow {AB}}=\mathbf {b} -\mathbf {a}$ и ${\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a}$ компланарны и отложены от одной и той же точки $A$ , следовательно, четыре точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ лежат в одной плоскости^[41].

Замечание. Уравнение $\mathbf {d} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\mu \mathbf {c}$ с ограничением $\lambda +\mu +\nu =1$ — относительно полюса $O$ векторное уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки $A$ , $B$ и $C$ , $\mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}}$ , $\mathbf {b} ={\overrightarrow {OB}}$ , $\mathbf {c} ={\overrightarrow {OC}}$ , $\mathbf {d} ={\overrightarrow {OD}}$ ^[41].

Построение треугольника

Здесь приведены две задачи на построение треугольника.

Задача 3. Найти условие, которому отвечают три вектора, образующие треугольник (см. рисунок справа)^[42].

Решение. Рисунок справа показывает, что искомое условие для трёх векторов следующее:

\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} =0

,

потому что тогда и только тогда ломаная линия $BCAB$ будет замкнута и получится треугольник^[42].

Задача 4. Доказать, что всегда можно построить треугольник с тремя сторонами, равными и параллельными трём медианам данного треугольника $ABC$ (см. рисунок справа)^[42]^[43].

Решение 1. Пусть $A'$ , $B'$ и $C'$ — середины сторон треугольника соответственно $BC$ , $CA$ и $AB$ . Разложим векторы ${\overrightarrow {AA'}}$ , ${\overrightarrow {BB'}}$ и ${\overrightarrow {CC'}}$ , которые представляют медианы треугольника, по векторам $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ . Разложим медиану ${\overrightarrow {AA'}}$ :

{\overrightarrow {BA'}}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {BC}}={\frac {1}{2}}\mathbf {a}

,

{\overrightarrow {AA'}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BA'}}=\mathbf {c} +{\frac {1}{2}}\mathbf {a}

,

аналогично

{\overrightarrow {BB'}}=\mathbf {a} +{\frac {1}{2}}\mathbf {b}

,

{\overrightarrow {CC'}}=\mathbf {b} +{\frac {1}{2}}\mathbf {c}

,

и проверяем условие того, что векторы ${\overrightarrow {AA'}}$ , ${\overrightarrow {BB'}}$ и ${\overrightarrow {CC'}}$ составляют треугольник — условие задачи 3^[44]:

\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} =0

,

{\overrightarrow {AA'}}+{\overrightarrow {BB'}}+{\overrightarrow {CC'}}=\mathbf {c} +{\frac {1}{2}}\mathbf {a} +\mathbf {a} +{\frac {1}{2}}\mathbf {b} +\mathbf {b} +{\frac {1}{2}}\mathbf {c} ={\frac {3}{2}}(\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} )=0

.

Решение 2. Разложим векторы ${\overrightarrow {AA'}}$ , ${\overrightarrow {BB'}}$ и ${\overrightarrow {CC'}}$ по векторам $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ по-другому, как в задачи 1':

{\overrightarrow {AA'}}={\frac {\mathbf {c} +(-\mathbf {b} )}{2}},\quad {\overrightarrow {BB'}}={\frac {\mathbf {a} +(-\mathbf {c} )}{2}},\quad {\overrightarrow {CC'}}={\frac {\mathbf {b} +(-\mathbf {a} )}{2}},

и после сложения этих трёх равенств получаем^[43]:

{\overrightarrow {AA'}}+{\overrightarrow {BB'}}+{\overrightarrow {CC'}}={\frac {\mathbf {c} +(-\mathbf {b} )+\mathbf {a} +(-\mathbf {c} )+\mathbf {b} +(-\mathbf {a} )}{2}}=0

.

Совпадение середин отрезков

Здесь представлены по сути две одинаковые задачи, но по-разному сформулированные и по-разному решённые.

Задача 5. Два вектора ${\overrightarrow {AB}}$ и ${\overrightarrow {CD}}$ (на прямой, плоскости или в пространстве) равны тогда и только тогда. когда совпадают середины отрезков $AD$ и $BC$ ^[45].

Решение. 1. Необходимость. Докажем, что если два вектора равны: ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}$ , а точка $P$ — середина отрезка $AD$ , то есть ${\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {PD}}$ , то тогда $P$ — также середина отрезка $BC$ . Действительно,

{\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {AP}}-{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {PD}}-{\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {PD}}+{\overrightarrow {DC}}={\overrightarrow {PC}}

,

то есть $P$ — середина отрезка $BC$ ^[46].

2. Достаточность. Докажем, что если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают в точке $P$ :

{\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {PD}},\quad {\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {PC}}

,

то тогда векторы ${\overrightarrow {AB}}$ и ${\overrightarrow {CD}}$ равны. Действительно,

{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {AP}}+{\overrightarrow {PB}}={\overrightarrow {PD}}+{\overrightarrow {CP}}={\overrightarrow {CP}}+{\overrightarrow {PD}}={\overrightarrow {CD}}

,

то есть векторы ${\overrightarrow {AB}}$ и ${\overrightarrow {CD}}$ равны^[47].

Задача 6. Доказать, что если две диагонали произвольного четырёхугольника делят друг друга пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм^[44].

Решение. Пусть $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ , $\mathbf {c}$ и $\mathbf {d}$ — радиус-векторы четырёх последовательных вершин четырёхугольника $ABCD$ (см. рисунок справа). Тогда, по задаче 1',

\mathbf {e'} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} +\mathbf {c} )

—

радиус-вектор середины одной диагонали, а

\mathbf {e''} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {b} +\mathbf {d} )

—

радиус-вектор середины другой диагонали. Поскольку диагонали делят друг друга пополам, то их середины совпадают:

{\frac {1}{2}}(\mathbf {a} +\mathbf {c} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {b} +\mathbf {d} )

,

\mathbf {b} -\mathbf {a} =\mathbf {c} -\mathbf {d}

,

другими словами, вектор $\mathbf {b} -\mathbf {a}$ равен и параллелен вектору $\mathbf {c} -\mathbf {d}$ . Поскольку эти векторы представляют противоположные стороны четырёхугольника $ABCD$ , то $ABCD$ — параллелограмм^[48].

Пересечение трёх прямых в одной точке

Задача 7. Доказать, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и найти радиус-вектор этой точки^[41].

Решение^[49]

Пусть вершины произвольного треугольника $A$ , $B$ и $C$ имеют радиус-векторы соответственно $\mathbf {r} _{1}={\overrightarrow {OA}}$ , $\mathbf {r} _{2}={\overrightarrow {OB}}$ и $\mathbf {r} _{3}={\overrightarrow {OC}}$ . Обозначим через $A'$ , $B'$ и $C'$ середины сторон соответственно $BC$ , $CA$ и $AB$ (см. рисунок справа). Тогда, по задаче 1', радиус-вектор

\mathbf {r} '={\overrightarrow {OA'}}={\frac {1}{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{2}),

следовательно, по задаче 1, уравнение прямой, проходящей через две точки $A$ и $A'$ , то есть уравнение медианы $AA'$ ,

\mathbf {r} =\lambda \mathbf {r} _{1}+(1-\lambda ){\frac {1}{2}}(\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{3})=\lambda \mathbf {r} _{1}+{\frac {1-\lambda }{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}),

где $\mathbf {r}$ — произвольный радиус-вектор. Аналогично уравнение медианы $BB'$ следующее^[41]:

\mathbf {r} =\mu \mathbf {r} _{2}+{\frac {1-\mu }{2}}(\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}).

Приравняем оба выражения и получим уравнение точки пересечения медиан $AA'$ и $BB'$ ^[41]:

\lambda \mathbf {r} _{1}+{\frac {1-\lambda }{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3})=\mu \mathbf {r} _{2}+{\frac {1-\mu }{2}}(\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}).

Теперь приравняем коэффициенты при $\mathbf {r} _{1}$ , $\mathbf {r} _{2}$ и $\mathbf {r} _{3}$ ^[41]:

\lambda ={\frac {1-\mu }{2}},\quad \mu ={\frac {1-\lambda }{2}},\quad {\frac {1-\lambda }{2}}={\frac {1-\mu }{2}},

откуда

\lambda =\mu ={\frac {1}{3}},

и уравнение точки пересечения медиан $AA'$ и $BB'$

\mathbf {r} =\lambda \mathbf {r} _{1}+{\frac {1-\lambda }{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{3}}(\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}).

При определении точки пересечения медиан $BB'$ и $CC'$ будет получен тот же результат по причине симметрии полученного выражения, поэтому третья медиана проходит через ту же точку^[50].

Задача 8. Доказать, что биссектрисы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и найти радиус-вектор этой точки^[51].

Решение^[51]

Пусть биссектрисы $AA'$ и $BB'$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$ (см. рисунок справа), и пусть

\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}},\quad \mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}},\quad \mathbf {c} _{1}={\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}

—

орты векторов

\mathbf {a} ={\overrightarrow {BC}},\quad \mathbf {b} ={\overrightarrow {CA}},\quad \mathbf {c} ={\overrightarrow {AB}}

соответственно. Отложим единичные векторы ${\overrightarrow {AK}}=\mathbf {c} _{1}$ и ${\overrightarrow {AL}}=\mathbf {b} _{1}$ на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно и построим на этих ортах ромб $AKML$ (см. рисунок справа)^[50].

Диагональ $AM$ этого ромба — биссектриса угла $A$ . Вектор ${\overrightarrow {AP}}$ , направленный по биссектрисе угла $A$ , коллинеарен вектору $\mathbf {c} _{1}+(-\mathbf {b} _{1})$ :

{\overrightarrow {AP}}=x(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {b} _{1})=x\left({\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\right),

где $x$ пока не определён^[50].

Либо таким же способом, то есть аналогично, либо заменой символов $a$ на $b$ , $b$ на $c$ , $c$ на $a$ , $x$ на $y$ , то есть циклической перестановкой, получается уравнение для вектора ${\overrightarrow {BP}}$ ^[50]:

{\overrightarrow {BP}}=y(\mathbf {a} _{1}-\mathbf {c} _{1})=y\left({\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}\right).

Составим уравнение для нахождения $x$ и $y$ ^[50]:

{\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}},

x\left({\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\right)=\mathbf {c} +y\left({\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}\right).

В последнем уравнении нельзя приравнять коэффициенты при $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ , поскольку эти векторы компланарны, то есть

\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} =\mathbf {0}

,

откуда выразим вектор $\mathbf {a}$ ^[50]:

\mathbf {a} =-\mathbf {b} -\mathbf {c} =\mathbf {0}

.

Теперь можно сократить количество векторов в уравнении до двух, исключив вектор $\mathbf {a}$ ^[50]:

x\left({\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\right)=\mathbf {c} +y\left(-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}\right).

Поскольку разложение вектора по двум не коллинеарным векторам единственно, приравняем в последнем уравнении по отдельности коэффициенты при векторах $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ ^[52]:

-{\frac {x}{|\mathbf {b} |}}=-{\frac {y}{|\mathbf {a} |}},

{\frac {x}{|\mathbf {c} |}}=1-{\frac {y}{|\mathbf {a} |}}-{\frac {y}{|\mathbf {c} |}},

следовательно,

y={\frac {|\mathbf {a} ||\mathbf {c} |}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},\quad x={\frac {|\mathbf {b} ||\mathbf {c} |}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},

откуда

{\overrightarrow {AP}}={\frac {|\mathbf {b} |\mathbf {c} -|\mathbf {c} |\mathbf {b} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},\quad {\overrightarrow {BP}}={\frac {|\mathbf {c} |\mathbf {a} -|\mathbf {a} |\mathbf {c} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}.

Аналогично, если $P'$ — точка пересечения биссектрис $BB'$ и $CC'$ , то тогда

{\overrightarrow {BP'}}={\frac {|\mathbf {c} |\mathbf {a} -|\mathbf {a} |\mathbf {c} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},\quad {\overrightarrow {CP'}}={\frac {|\mathbf {a} |\mathbf {b} -|\mathbf {b} |\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},

следовательно, ${\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {BP'}}$ , то есть точки $P$ и $P'$ совпадают и биссектрисы пересекаются в одной точке^[52].

Пусть теперь $\mathbf {r} _{1}={\overrightarrow {OA}}$ , $\mathbf {r} _{2}={\overrightarrow {OB}}$ и $\mathbf {r} _{3}={\overrightarrow {OC}}$ — радиус-векторы вершин соответственно $A$ , $B$ и $C$ треугольника $ABC$ , тогда радиус-вектор $\mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}$ точки пересечения биссектрис следующий^[52]:

\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}+{\overrightarrow {AP}}={\frac {(|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |)\mathbf {r} _{1}}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}+{\frac {|\mathbf {b} |(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-|\mathbf {c} |(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3})}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}=

={\frac {|\mathbf {a} |\mathbf {r} _{1}+|\mathbf {b} |\mathbf {r} _{2}+|\mathbf {c} |\mathbf {r} _{3}}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}.

Задача 9. В треугольнике $ABC$ точки $A'$ , $B'$ и $C'$ лежат произвольно на сторонах $BC$ , $CA$ и $AB$ соответственно. Найти соотношение между шестью отрезками $AC'$ , $C'B$ , $BA'$ , $A'C$ , $CB'$ и $B'C$ , при которых прямые $AA'$ , $BB'$ и $CC'$ пересекаются в одной точке $P$ ^[53].

Решение^[54]

1. Необходимость. Поместим точку $O$ вне плоскости треугольника $ABC$ , и пусть $\mathbf {r} _{1}={\overrightarrow {OA}}$ , $\mathbf {r} _{2}={\overrightarrow {OB}}$ и $\mathbf {r} _{3}={\overrightarrow {OC}}$ — радиус-векторы соответствующих вершин треугольника, а $\mathbf {r} ={\overrightarrow {P}}$ — радиус-вектор точки $P$ пересечения трёх прямых $AA'$ , $BB'$ и $CC'$ (см. рисунок справа). Разложим вектор $\mathbf {r}$ по трём некомпланарным векторам $\mathbf {r} _{1}$ , $\mathbf {r} _{2}$ и $\mathbf {r} _{3}$ ^[54]:

\mathbf {r} =\alpha _{1}\mathbf {r} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {r} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {r} _{3}

,

причём, по задаче 2,

\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}=1

.

Рассмотрим точку $A'$ . Поскольку она лежит на прямой $AP$ , то, согласно задаче 1, её радиус-вектор

OA'=\lambda \mathbf {r} +(1-\lambda )\mathbf {r} _{1}=\lambda (\alpha _{1}\mathbf {r} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {r} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {r} _{3})+(1-\lambda )\mathbf {r} _{1}=

=(\lambda \alpha _{1}+1-\lambda )\mathbf {r} _{1}+\lambda \alpha _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda \alpha _{3}\mathbf {r} _{3}

,

а поскольку точка $A'$ лежит также и на прямой $BC$ , то, по той же задаче 1,

\lambda \alpha _{1}+1-\lambda -0,\quad \lambda \alpha _{2}+\lambda \alpha _{3}=1

,

причём оба эти соотношения дают один и тот же результат

\lambda ={\frac {1}{1-\alpha _{1}}}={\frac {1}{\alpha _{2}+\alpha _{3}}}

,

откуда окончательно имеем следующее выражение для радиус-вектора $OA'$ ^[55]:

OA'={\frac {\alpha _{2}\mathbf {r} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {r} _{3}}{\alpha _{2}+\alpha _{3}}}

.

Сравним последнее выражение с формулой $\mathbf {c} ={\frac {y\mathbf {a} +x\mathbf {b} }{x+y}}$ из задачи 1, получаем^[55]:

{\frac {BA'}{A'C}}={\frac {\alpha _{3}}{\alpha _{2}}}

.

Аналогично заключаем^[55]:

{\frac {CB'}{B'A}}={\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{3}}},\quad ,{\frac {AC'}{C'B}}={\frac {\alpha _{2}}{\alpha _{1}}}

.

Перемножим последние три равенства, окончательно найдём требующееся соотношение между шестью отрезками^[55]:

{\frac {BA'\cdot CB'\cdot AC'}{A'C\cdot B'A\cdot C'B}}=1

,

или

BA'\cdot CB'\cdot AC'=A'C\cdot B'A\cdot C'B

.

2. Достаточность. Последнее выражение является также и достаточным условием того, что прямые $AA'$ , $BB'$ и $CC'$ пересекаются в одной точке. Действительно, пусть прямые $AA'$ и $BB'$ пересекаются в точке $P$ , и пусть тогда прямая $CP$ пересекает сторону $AB$ треугольника в некоторой точке $C''$ , для которой по только что доказанному выполняется следующее условие^[55]:

{\frac {AC''}{C''B}}={\frac {A'C\cdot B'A}{BA'\cdot CB'}}

.

Но по условию достаточности выполнено условие

BA'\cdot CB'\cdot AC'=A'C\cdot B'A\cdot C'B

,

следовательно,

{\frac {AC'}{C'B}}={\frac {A'C\cdot B'A}{BA'\cdot CB'}}

,

поэтому точки $C''$ и $C'$ совпадают^[55].

Построение долей отрезка

Задача 10. Доказать, что описанное ниже рекуррентное построение доставляет любую целую часть, то есть половину, треть, четверть и так далее, заданного отрезка $AB$ (см. рисунок справа)^[52]:

параллельно заданному отрезку $AB$ проведём прямую $CD$ . Затем через точку $O$ , расположенную с одной стороны этих отрезков, проведём прямые $OA$ и $OB$ , пересекающие прямую $CD$ в точка $C$ и $D$ соответственно;
диагонали трапеции $ABDC$ пересекаются в точке $K_{2}$ . Прямая $OK_{2}$ пересекает отрезок $AB$ в точке $L_{2}$ . Получаем, что $AL_{2}={\frac {1}{2}}AB;$
прямая $CL_{2}$ пересекает диагональ $AD$ в точке $K_{3}$ . Прямая $OK_{3}$ пересекает отрезок $AB$ в точке $L_{3}$ . Получаем, что $AL_{3}={\frac {1}{3}}AB$ . И так далее.