Математика исламского Средневековья — Википедия

Данная статья — часть обзора История математики.

Учёные исламского мира эпохи расцвета мусульманской цивилизации значительно способствовали развитию математики, обогащая её новыми открытиями и усовершенствованиями. Они не только собрали, перевели и сохранили работы своих предшественников, но и внесли собственные инновации. В области арифметики они усовершенствовали десятичную систему, включив в неё десятичные дроби и разработав эффективные процедуры для вычислений. Способствовали распространению десятичной системы счисления. Они первыми систематизировали алгебру^[1], получившую от арабского языка современное название («аль-джабр» – восполнение), и составили её в организованной научной манере^[2]. Заложили основы алгебраической геометрии^[3]. Разработали численные методы для извлечения корней, суммирования рядов и решения уравнений. Расширили исследования в тригонометрии, выделив её в отдельную науку, отделив от астрономии^[2]. Достигли успехов в изучении плоских и сферических треугольников и определении тригонометрических функций^[3]. Исламские математики также внесли вклад в евклидову геометрию, теорию чисел и комбинаторику. Их работы использовались в европейских университетах в качестве учебных пособий вплоть до конца эпохи Возрождения^[4].

Преследование греческих учёных-нехристиан а также «еретиков» (несториан^[5], монофизитов^[6]) в Римской империи V—VI веков вызвало их массовое бегство в Персию, Индию и на Ближний Восток. При дворе Хосрова I они переводили античных классиков на сирийский язык, а два века спустя появились арабские переводы этих трудов. Так было положено начало ближневосточной математической школе^[7]. Большое влияние на неё оказала и индийская математика, также испытавшая древнегреческое влияние (некоторые труды этого периода были написана греками-эмигрантами; например, александрийский астроном Паулос написал «Пулиса-сиддханта»).

В начале IX века научным центром халифата становится Багдад, где халифы создают «Дом мудрости», в который приглашаются виднейшие учёные всего исламского мира. Большинство багдадских учёных до XI века были выходцами из Средней Азии (Аль-Хорезми, Хаббаш аль-Хасиб, Аль-Фергани, Аль-Фараби) или сабиями – одной из защищённых по Корану религиозных групп (харранские сабии — потомки вавилонских жрецов-звездопоклонников, традиционно сведущие в астрономии и занимавшиеся астрологией)^[8]. На западе халифата, в мусульманской испанской Кордове, сформировался другой научный центр, благодаря которому античные знания стали понемногу возвращаться в Европу^[7]. В XIII веке после полного уничтожения Багдада монголами (в ходе Жёлтого крестового похода 1256–1260 гг), и захвата большей части Пиренейского полуострова испанцами (в ходе Иберийских крестовых походов 1212^{[К 1]}–1266^{[К 2][9]} гг) мусульмане теряют оба своих крупнейших научных центра, что отождествляется некоторыми историками с концом Золотого века ислама. Однако позднее в Центральной Азии на два века появляется новый научный и культурный центр – Самарканд, происходит Тимуридский Ренессанс, который заканчивается после убийства Улугбека. Его ученик Али Кушчи прибывает в Османскую Империю, в Стамбул, где научная деятельность продолжается еще одно столетие и заканчивается во второй половине XVI века.

Доступная нам история математики в странах Ближнего и Среднего Востока начинается в эпоху, следующую за эпохой мусульманского завоевания (VII—VIII века). Первая стадия этой истории состояла в переводе на арабский язык, изучении и комментировании трудов греческих и индийских авторов. Размах этой деятельности впечатляет — список арабских переводчиков и комментаторов одного только Евклида содержит более сотни имён. Арабский язык долгое время оставался международным языком науки, опередив по масштабам любой другой язык предшествоваших эпох^[10]. С XIII века появляются научные труды и переводы на персидском языке.

Работа Мухаммада аль-Хорезми, выполненная между 813 и 833 годами в Багдаде, стала поворотным моментом в развитии математики исламского Средневековья. В заглавии своей книги "Китаб аль-джабр ва аль-мукабала" он ввел термин "алгебра", обозначив ее как отдельную дисциплину. Аль-Хорезми описывал свою работу как "короткое сочинение по вычислению с правилами завершения и приведения, ограниченное тем, что является самым простым и полезным в арифметике". Его труд был не только теоретическим трактатом, но и имел практическое применение, направленное на решение задач в таких областях, как торговля и земельные измерения^[11]. До XVI века переводы книг аль-Хорезми по арифметике использовались в европейских университетах как основные учебники по математике^[4][12][13]. Историк науки Соломон Гандз^[англ.] называет его «отцом алгебры» за то, что он «первым начал преподавать алгебру в элементарной форме и ради самой алгебры»^[14].

Распространению арабской математики на Запад способствовало несколько факторов. Значительную роль сыграли практичность и универсальность методов аль-Хорезми. Они были разработаны для преобразования числовых и геометрических задач в уравнения в нормальной форме, что приводило к каноническим формулам решений. Его работы, а также труды его последователей, таких как аль-Караджи, заложили основу для достижений в различных областях математики, включая теорию чисел, вычислительную математику и диофантовы уравнения^[15].

Ряд интересных математических задач, стимулировавших развитие сферической геометрии и астрономии, поставила перед математикой и сама религия ислам. Это задача о расчёте лунного календаря, об определении точного времени для совершения намаза, а также об определении киблы — точного направления на Мекку.

Несколько закрепившихся в математике терминов — такие, как алгебра, алгоритм, цифра, английское zero и немецкое Ziffer — арабского происхождения.

Среди наиболее выдающихся результатов математиков стран исламского мира можно отметить:

• Введение и первое применение десятичных дробей.
• Разработка численных методов: извлечение корней, суммирование рядов, решение уравнений.
• Открытие общего вида бинома Ньютона для натурального показателя степени.
• Открытие связи пятого постулата Евклида со многими геометрическими теоремами.
• Выделение тригонометрии в отдельную дисциплину, её систематизация и расширение — как плоской, так и сферической, составление точных таблиц.

Хотя сочинения исламских математиков и их фундаментальные работы в области алгебры и алгебраической геометрии высоко ценились в эпоху Высокого и позднего Средневековья в Европе, к концу эпохи Возрождения отношение к ним изменилось. В Германии и Франции XVIII–XIX веков преобладал ориенталистский взгляд, согласно которому "Восток и Запад противопоставляются не как географические, а как исторические позитивности". "Рационализм" рассматривался как сущность Запада, тогда как движение "Призыв Востока", возникшее в XIX веке, интерпретировалось как противостоящее рационализму и возвращение к более "духовному и гармоничному" образу жизни^[16]. Таким образом, преобладающий ориентализм того периода был одной из основных причин, по которым вклад исламских математиков часто игнорировался, так как считалось, что люди за пределами Запада не обладают необходимой рациональностью и научным духом для значимых достижений в области математики и науки.

Западные историки XVIII и XIX века считали, что классическая наука и математика были уникальными явлениями Запада. Хотя некоторые математические достижения арабских ученых иногда признаются, их часто рассматривают как "внеисторические" или интегрированные только в той мере, в какой они способствовали науке, которая считается по своей сути европейской. Эти достижения часто воспринимаются как технические инновации в греческом наследии, а не как открытия совершенно новых ветвей математики. Впоследствии это привело к евроцентристскому взгляду среди большинства математиков и историков математики, проложив прямую линию развития от греческой математики к современной западной математике, а достижения исламской математики остались без внимания и были частично забыты^[17][16].

В философской работе француза Эрнеста Ренана арабская математика представляется лишь "отражением Греции, скомбинированным с персидскими и индийскими влияниями". По мнению Пьера Дюгема, "арабская наука лишь воспроизводила учения, полученные от греческой науки". Арабские математические труды также критикуются за недостаток строгости и чрезмерное внимание к практическим приложениям и расчетам, из-за чего западные историки утверждали, что арабские математики никогда не могли достичь уровня греческих^[16]. Как писал Поль Таннери, арабская математика "ни в коей мере не превзошла уровень, достигнутый Диофантом". Западные математики, по их мнению, пошли по совершенно иному пути как в методах, так и в конечных целях, и "отличительной чертой западной науки, начиная с её греческих истоков и до современного возрождения, является соответствие строгим стандартам". Поэтому, как считал Никола Бурбаки, отсутствие строгих доказательств в трудах арабских математиков оправдывает исключение арабского периода из истории алгебры^[16].

Таким образом, история классической алгебры трактуется как достижение эпохи Возрождения, а происхождение алгебраической геометрии связывается с Декартом, в то время как вклад исламских математиков намеренно игнорируется. По словам Рошди Рашеда^[англ.]: "Чтобы оправдать исключение науки, написанной на арабском языке, из истории науки, упоминается её отсутствие строгости, расчётный характер и практическая направленность. Кроме того, строго зависимые от греческой науки и неспособные ввести экспериментальные нормы, ученые того времени были сведены к роли добросовестных хранителей эллинистического музея"^[16]. Так, Бертран Рассел писал: "Мусульманская цивилизация в свои великие дни достигла замечательных результатов в области искусств и во многих областях техники, но обнаружила полную неспособность к самостоятельным умозрительным построениям в теоретических вопросах. Её значение, которое никоим образом нельзя недооценивать, заключается в роли передатчика"^[18].

Достижения исламских математиков были заново открыты западными историками математики только во второй половине XIX века: Жан-Этьен Монтюкла в своей всеобъемлющей «Истории математики» (1758 г.) ошибочно писал, что арабоязычные математики имели дело только с уравнениями второй степени^[19]. Однако в 1851 году Франц Вёпке^[англ.] в своей диссертации по алгебре Омара Хайяма упоминал, что Омар Хайям систематически рассматривал уравнения и третьей степени. Франц Вёпке опубликовал переводы ранее неизвестных математических рукописей, таких как «Алгебра» аль-Караджи. Вместе с Жан Жаком Седийо, Луи-Пьер-Эженом Седилло^[англ.], а также Жозефом Туссеном Рено он считается основателем научно-исторических исследований исламской математики. Эйльхард Видеманн^[англ.] в своих многочисленных работах занимался историей арабоязычных наук, особенно астрономии и математики, на которой она основана. В своем «Введении в историю науки» (1927) Джордж Сартон окончательно преодолел европоцентристскую точку зрения и сформировал современное понимание важной роли арабоязычной науки в сохранении и независимом дальнейшем развитии древних знаний^[20]. Современные историки математики, такие как Рошди Рашед^[англ.], Джон Леннарт Берггрен^[нем.] и Ян Хогендейк^[англ.], интенсивно занимаются математикой периода исламского расцвета, так что на сегодняшний день существует более полная и ясная картина научного прогресса той эпохи^[17].

Буквенная абджадия была первой системой арабской нумерации^[21], а с VIII века багдадская школа предложила индийскую позиционную систему, которая и прижилась.

Существенным элементом представления десятичных разрядов чисел является символ нуля, который указывает на отсутствие значения в соответствующем разряде: например, число 304 содержит трижды 100, ни разу 10 и четырежды 1; в отличие от числа 34, которое содержит трижды 10 и четыре раза 1. Эта важная концепция нуля восходит к индийской математике, где она использовалась, по крайней мере, с VII века^[22]. Ноль по-арабски назывался сифр («пустой», «ничто»); это название породило, среди прочего, немецкое слово «Ziffer» и английское «zero», обозначающие ноль, а также русское, украинское, болгарское и сербское слово «цифра», польское «cyfra» и чешское «cifra»^[23].

Дроби в арабской математике, в отличие от теоретической арифметики древних греков, считались такими же числами, как и натуральные числа. Сперва их записывали вертикально, как индийцы, а черту дроби впервые ввёл аль-Хасар^[англ.] около 1200-го года. Наряду с привычными дробями в быту традиционно использовали разложение на египетские аликвотные дроби (вида 1/n), а в астрономии — 60-ричные вавилонские. Попытки ввести десятичные дроби делались, начиная с X века (ал-Уклидиси), однако дело продвигалось медленно. Только в XV веке ал-Каши изложил их полную теорию, после чего они получили некоторое распространение в Османской империи. В Европе первый набросок арифметики десятичных дробей появился раньше (XIV век, Иммануил Бонфис из Тараскона), но победоносное их шествие началось в 1585 году (Симон Стевин).

Понятия отрицательного числа в исламской математике в целом выработано не было. Некоторым исключением стала книга «Мухаммедов трактат по арифметике» ал-Кушчи (XV век). Ал-Кушчи мог познакомиться с этой идеей, будучи в молодости послом Улугбека в Китае. Перевод этой книги на латинский впервые в Европе содержал термины positivus и negativus (положительный и отрицательный).

В IX веке жил Аль-Хорезми — учёный среднеазиатского или персидского происхождения, вероятно, выходец из рода зороастрийских жрецов, судя по прозвищу в некоторых источниках «ал-Маджуси» (маг)^[24]. Заведовал библиотекой «Дома мудрости», изучал индийские и греческие знания. Аль-Хорезми написал книгу «Об индийском счёте», способствовавший популяризации позиционной системы во всём Халифате, вплоть до Испании. В XII веке эта книга переводится на латинский, от имени её автора происходит наше слово «алгоритм». Ранние средневековые европейские математики называли так арифметику, основанную на десятичной позиционной системе счисления. Позднее так стало называться любое вычисление по строго определённым правилам^[25]. В настоящее время термин алгоритм означает любой набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи.

Другое сочинение аль-Хорезми, «Краткая книга об исчислении путем восполнения и уравновешивания», предлогало новаторский подход, не основывашийся на какой-либо предыдущей «арифметической» традиции, включая Диофанта. Он разработал новую терминологию для алгебры, отличая чисто алгебраические термины от тех, что используются в арифметике. Аль-Хорезми заметил, что представление чисел имеет важное значение в повседневной жизни, поэтому он стремился найти или обобщить способ упрощения математических операций, который позднее стал называться алгеброй^[11]. Его работа была сосредоточена на линейных и квадратных уравнениях – при этом игнорировались виды уравнений, где при положительных коэффициентах могли возникнуть отрицательные корни, в самих уравнениях отрицательные коэффициенты также не допускались – только в 1544 году они были учтены Михаэлем Штифелем, что позволило обобщить и снизить количество типов уравнений. Также внимание уделялось элементарной арифметике двучленов и трёхчленов. Его подход, включающий решение уравнений с использованием радикалов и связанных с ними алгебраических вычислений, оказал влияние на математическое мышление на долгое время после его смерти.

Доказательство аль-Хорезми правила решения квадратных уравнений вида ${\displaystyle ax^{2}+bx=c}$ стало выдающимся достижением в истории алгебры. Этот прорыв заложил основу для систематического подхода к решению квадратных уравнений, ставшего фундаментальным аспектом алгебры в её развитии в западном мире^[17]. Метод аль-Хорезми не только предоставил практическое решение для уравнений такого типа, но и ввел абстрактный и обобщенный подход к математическим задачам. «Краткая книга об исчислении путем восполнения и уравновешивания» была переведена на латинский язык в XII веке. Этот перевод сыграл ключевую роль в передаче алгебраических знаний в Европу, значительно повлияв на математиков эпохи Возрождения и сформировав эволюцию современной математики^[17]. Само слово «алгебра» произошло от арабского «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, и его буквальный смысл — «восполнение»^[26].

В развитии инфинитезимальных методов существенного продвижения не было. Сабит Ибн Курра вывел другим способом несколько результатов Архимеда, а также исследовал тела, полученные вращением сегмента параболы (купола). Ибн ал-Хайсам дополнил его результаты.

В средневековой исламской математике было сделано довольно много попыток доказать Пятый постулат Евклида. Чаще всего исследовалась фигура, позднее названная четырёхугольником Ламберта. Ал-Джаухари, Сабит ибн Курра, Омар Хайям и другие математики дали несколько ошибочных доказательств, явно или неявно используя один из многочисленных эквивалентов V постулата.

Одним из величайших учёных-энциклопедистов исламского мира был Ал-Бируни. Он родился в Кяте, столице Хорезма. В 1017 году афганский султан Махмуд захватил Хорезм и переселил Ал-Бируни в свою столицу, Газни. Несколько лет Ал-Бируни провёл в Индии. Главный труд Ал-Бируни — «Канон Мас‘уда», включающий в себя множество научных достижений разных народов, в том числе целый курс тригонометрии (книга III). В дополнение к таблицам синусов Птолемея (приведенных в уточнённом виде, с шагом 15'), Ал-Бируни даёт таблицы тангенса и котангенса (с шагом 1°), секанса и пр. Здесь же даются правила линейного и даже квадратичного интерполирования. Книга Ал-Бируни содержит приближённое вычисление стороны правильного вписанного девятиугольника, хорды дуги в 1°, числа ${\displaystyle \pi }$ и др.

Прославленный поэт и математик Омар Хайям (XI—XII вв.) внёс вклад в математику своим сочинением «О доказательствах задач алгебры и аль-мукабалы», где изложил оригинальные методы решения кубических уравнений. До Хайяма был уже известен геометрический метод, восходящий к Менехму и развитый Архимедом: неизвестное строилось как точка пересечения двух подходящих конических сечений. Хайям привёл обоснование этого метода, классификацию типов уравнений, алгоритм выбора типа конического сечения, оценку числа положительных корней и их величины. Хайям, однако, не заметил возможности для кубического уравнения иметь три вещественных корня. До формул Кардано Хайяму дойти не удалось, но он высказал надежду, что явное решение будет найдено в будущем. В «Комментариях к трудностям во введениях книги Евклида» (ок. 1077), Хайям рассматривает иррациональные числа как вполне законные. В этой же книге Хайям пытается решить проблему пятого постулата, заменив его на более очевидный.

Насир ад-Дин ат-Туси, выдающийся персидский математик и астроном, наибольших успехов достиг в области сферической тригонометрии. В его «Трактате о полном четырёхстороннике» (1260) тригонометрия впервые была представлена как самостоятельная наука. Трактат содержит довольно полное и целостное построение всей тригонометрической системы, а также способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси. Сочинение ат-Туси стало широко известно в Европе и существенно повлияло на развитие тригонометрии. Ему принадлежит также первое известное нам описание извлечения корня любой степени; оно опирается на правило разложения бинома.

Джемшид Ибн Масуд ал-Каши, сотрудник школы Улугбека, написал сочинение «Ключ арифметики» (1427). Здесь вводится система десятичной арифметики, включающая учение о десятичных дробях, которыми ал-Каши постоянно пользовался. Он распространил геометрические методы Хайяма на решение уравнений 4-й степени. «Трактат об окружности» (1424) ал-Каши является блестящим образцом выполнения приближенных вычислений. Используя правильные вписанный и описанный многоугольники с числом сторон ${\displaystyle 3\cdot 2^{28}}$ (для вычисления стороны проводятся последовательные извлечения квадратных корней), аль-Каши для числа ${\displaystyle \pi }$ получил значение 3,14159265358979325 (ошибочна только последняя, 17-я цифра мантиссы^[27]). В другой своей работе он сосчитал, что sin 1° = 0,017452406437283571 (все знаки верны — это примерно в два раза точнее, чем у ал-Бируни). Итерационные методы ал-Каши позволяли быстро численно решить многие кубические уравнения. Составленные ал-Каши самаркандские астрономические таблицы давали значения синусов от 0 до 45° через 1' с точностью до девяти десятичных знаков. В Европе такая точность была получена только полтора столетия спустя.

• 
  Гравюра идеального компаса Абу Сахля аль-Кухи для рисования конического сечения.
• 
  Теорема ибн аль-Хайсама из «Книги оптики»
• 
  Первая страница рукописи из 2-х частей «Кубические уравнения и пересечение конических сечений» Омара Хайяма, хранящейся в Тегеранском университете

• Астрономия исламского Средневековья
• Золотой век ислама

• Ал~Каши. Ключ арифметики. Трактат об окружности. Перевод Б. А. Розенфельда. Редакция В. С. Сегаля и А. П. Юшкевича. Комментарии А. П. Юшкевича и Б. А. Розенфельда. М., 1956.
• Ал-Хорезми. Математические трактаты. Перевод Ю. X. Копелевич и Б. А. Розенфельда. Комментарии Б. А. Розенфельда. Ташкент, 1964.
• Бируни. Памятники минувших поколений. Избранные произведения, т. 1. Перевод примечания М. А. Салье. Ташкент, 1957.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Депман И. Я. История арифметики. (1965)  (рус.). ilib.mccme.ru. Дата обращения: 12 января 2019.
• История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Ибн ал-Хайсам. Трактат об изопериметрических фигурах. Перевод и примечания Дж. ад-Даббаха.— ИМИ, 1966, т. XVII, 399—448.
• Ибн Корра. Книга о том, что две линии, проведенные под углом, меньшим двух прямых, встречаются. Перевод и примечания Б. А. Розенфельда.— ИМИ, 1963, т. XV. 363—380.
• Матвиевская Г. П., Розенфельд Б. А. Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII—XVII вв.). Вступительная статья Г. П. Матвиевской, Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича, М.: Наука, 1983.  (рус.) naturalhistory.narod.ru. Дата обращения: 12 января 2019.
• Рыбников К. А. История математики. М., 1994.
• Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. М., 1976.
• Туси Насирэддин. Трактат о полном четырёхстороннике. Перевод под редакцией Г. Д. Мамедбейли и Б. А. Розенфельда. Баку, 1952.
• Хаййам. Трактаты. Перевод Б. А Розенфельда. Редакция В. С. Сегаля п А. П. Юшкевича. М., 1962.
• Hogendijk, Jan P. Bibliography of Mathematics in Medieval Islamic Civilization  (неопр.). web.archive.org. Дата обращения: 12 января 2019..

• Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.