Ортогональный базис — Википедия
Ортогона́льный (ортонорми́рованный) ба́зис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.
Конечномерный случай
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Coordinate_systems.png/220px-Coordinate_systems.png)
Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов. Ортонормированный базис удовлетворяет ещё и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.
Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:
то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают (), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.
Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.
Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).
Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.
Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:
можно найти так:
Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:
Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).
Бесконечномерный случай
[править | править код]Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов гильбертова пространства такая, что любой элемент однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда
называемого рядом Фурье элемента по системе .
Часто базис выбирается так, что , и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа , называются коэффициентами Фурье элемента по ортонормированному базису , имеют вид
- .
Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система была базисом, является равенство Парсеваля.
Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.
Если задана произвольная система чисел такая, что , то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом ряд — сходится по норме к некоторому элементу . Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству (теорема Рисса — Фишера).
Примеры
[править | править код]- Стандартный базис в n-мерном евклидовом пространстве Rn является ортонормированным.
- Множество образует ортонормированный базис в .
Литература
[править | править код]- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
- Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.