Производная Лагранжа, также известная как субстанциональная производная или материальная производная, — это производная, взятая в зависимости от системы координат, движущейся со скоростью u и часто используемая в гидроаэромеханике и классической механике. Она определена как от скалярной функции
координат и времени, так и от векторной
:
![{\displaystyle {\frac {D\phi }{Dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b6228edfb4769c4a64c72df95a0c8d567534a09)
![{\displaystyle {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cbaba9f092bc78fa8cd2bda49e7886bb96dc8ad)
где
— это оператор набла, а
обозначает частную производную по t. Второе слагаемое есть конвективная производная данной функции.
Верно следующее тождество, когда берётся производная Лагранжа от интеграла:
![{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\int \limits _{V(t)}f(\mathbf {x} )\,dV=\int \limits _{V(t)}\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\nabla \cdot (f\mathbf {u} )\right)\,dV=\int \limits _{V(t)}\left({\frac {Df}{Dt}}+f(\nabla \cdot \mathbf {u} )\right)\,dV}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8d31c0e979e5865cc7392123b5dc95f5c0eec0)
Доказательство через правило дифференцирования сложных функций для частных производных. В тензорной нотации (с соглашением суммирования Эйнштейна) можно записать:
![{\displaystyle \left[{\frac {d\mathbf {B} }{dt}}\right]_{j}={\frac {d}{dt}}{\hat {B_{j}}}(t,x_{i}(t))={\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial B_{j}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial t}}={\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial x_{i}}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}B_{j}={\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+\left[(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {B} \right]_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085f5dfd4eb9c15076309ff5ba6027035850c6d3)