Собственные элементы орбиты — Википедия

Собственные (свободные) элементы орбиты — параметры, характеризующие орбиту небесного тела при его движении под воздействием возмущений. Собственные элементы практически не меняются со временем, в отличие от оскулирующих элементов, которые непостоянны и в каждый момент времени определяются как обычные элементы орбиты в предположении, что возмущения отсутствуют. Таким образом, собственные элементы являются непосредственными характеристиками орбиты тела, не изменёнными внешними факторами.

В задаче двух тел орбита небесного тела имеет вид конического сечения, а форма орбиты, её положение в пространстве и положение тела на ней однозначно описывается шестью параметрами, которые называются элементами орбиты. Один из возможных наборов элементов, который будет использоваться далее — большая полуось ${\displaystyle a}$, эксцентриситет ${\displaystyle e}$, наклонение ${\displaystyle I}$, долгота восходящего узла ${\displaystyle \Omega }$, долгота перицентра ${\displaystyle \varpi }$ и средняя долгота ${\displaystyle \lambda }$^{[комм. 1][2][3][4]}.

Однако при наличии более чем двух тел в системе взаимодействие между ними приводит к тому, что орбиты тел уже не описываются таким способом. На практике, например, в Солнечной системе орбиты планет не слишком отличаются от конических сечений, и их можно описать обычными элементами орбиты, однако в этом случае они меняются со временем. Для каждого момента времени элементы орбиты, которые бы точно описывали движение тела, если бы в этот момент все возмущения исчезли, называются оскулирующими элементами орбиты^[3].

Возмущающая функция представляет собой потенциал гравитационного взаимодействия с другими телами системы, кроме центрального^{[комм. 2][7]}. От неё зависит изменение оскулирующих элементов со временем: эта связь выражается посредством планетных уравнений Лагранжа^[8].

Для оценки того, как изменяются элементы орбиты со временем, можно представить систему с массивным центральным телом и двумя телами значительно меньшей массы. Тогда можно рассмотреть, как будет двигаться тело пренебрежимо малой массы — пробная частица — в поле тяготения центрального тела, с учётом возмущений от двух других тел. Возмущающую функцию для пробной частицы можно приближённо выразить через элементы орбит^{[комм. 3][10]}:

${\displaystyle R=na^{2}\left[{\frac {1}{2}}Ae^{2}+{\frac {1}{2}}BI^{2}+\sum _{j=1}^{2}A_{j}ee_{j}\cos(\varpi -\varpi _{j})+\sum _{j=1}^{2}B_{j}II_{j}\cos(\Omega -\Omega _{j})\right],}$

где ${\displaystyle n}$ — среднее движение (средняя угловая скорость движения по орбите)^[11], элементы орбиты без индексов относятся к пробной частице, с индексами — к возмущающим телам. Значения ${\displaystyle A,A_{j},B,B_{j}}$ приведены ниже^[12]:

${\displaystyle A=n{\frac {1}{4}}\sum _{j=1}^{2}{\frac {m_{j}}{m_{c}}}\alpha _{j}{\bar {\alpha }}_{j}b_{3/2}^{(1)}(\alpha _{j}),}$

${\displaystyle A_{j}=-n{\frac {1}{4}}{\frac {m_{j}}{m_{c}}}\alpha _{j}{\bar {\alpha }}_{j}b_{3/2}^{(2)}(\alpha _{j}),}$

${\displaystyle B=-n{\frac {1}{4}}\sum _{j=1}^{2}{\frac {m_{j}}{m_{c}}}\alpha _{j}{\bar {\alpha }}_{j}b_{3/2}^{(1)}(\alpha _{j}),}$

${\displaystyle B_{j}=n{\frac {1}{4}}{\frac {m_{j}}{m_{c}}}\alpha _{j}{\bar {\alpha }}_{j}b_{3/2}^{(1)}(\alpha _{j}).}$

В данных формулах ${\displaystyle m_{j},m_{c}}$ — массы, соответственно, возмущающего тела с индексом ${\displaystyle j}$ и центрального тела. ${\displaystyle b_{s}^{(j)}(\alpha )}$ — коэффициенты Лапласа, определяемые следующим образом^[13]:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}b_{s}^{(j)}(\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\cos j\psi d\psi }{(1-2\alpha \cos \psi +\alpha ^{2})^{s}}}.}$

Символы ${\displaystyle \alpha _{j},{\bar {\alpha }}_{j}}$ означают^[12]:

${\displaystyle \alpha _{j}={\begin{cases}a_{j}<a:a_{j}/a\\a_{j}>a:a/a_{j}\\\end{cases}},}$

${\displaystyle {\bar {\alpha }}_{j}={\begin{cases}a_{j}<a:1\\a_{j}>a:a/a_{j}\\\end{cases}}.}$

Далее производится переход от элементов орбиты к следующим коэффициентам, поскольку в них планетные уравнения Лагранжа записываются более удобным образом^[14]:

${\displaystyle h=e\sin \varpi ,}$

${\displaystyle k=e\cos \varpi ,}$

${\displaystyle p=I\sin \Omega ,}$

${\displaystyle q=I\cos \Omega .}$

Аналогичным образом определяются коэффициенты ${\displaystyle h_{j},k_{j},p_{j},q_{j}}$ для возмущающих тел. Тогда выражение для ${\displaystyle R}$ записываются в следующем виде^[15]:

${\displaystyle R=na^{2}\left[{\frac {1}{2}}A(h^{2}+k^{2})+{\frac {1}{2}}B(p^{2}+q^{2})+\sum _{j=1}^{2}A_{j}(hh_{j}+kk_{j})+\sum _{j=1}^{2}B_{j}(pp_{j}+qq_{j})\right].}$

Планетные уравнения Лагранжа в коэффициентах ${\displaystyle h,k,p,q}$ записываются как^[12]:

${\displaystyle {\dot {h}}={\frac {1}{na^{2}}}{\frac {\partial R}{\partial k}}=Ak+\sum _{j=1}^{2}A_{j}k_{j},}$

${\displaystyle {\dot {k}}=-{\frac {1}{na^{2}}}{\frac {\partial R}{\partial h}}=-Ah-\sum _{j=1}^{2}A_{j}h_{j},}$

${\displaystyle {\dot {p}}={\frac {1}{na^{2}}}{\frac {\partial R}{\partial q}}=Bq+\sum _{j=1}^{2}B_{j}q_{j},}$

${\displaystyle {\dot {q}}=-{\frac {1}{na^{2}}}{\frac {\partial R}{\partial p}}=-Bp-\sum _{j=1}^{2}B_{j}p_{j},}$

где точка над символом означает производную по времени. Величины ${\displaystyle h_{j},k_{j},p_{j},q_{j}}$определяются при анализе движения возмущающих тел под воздействием центрального тела и другого возмущающего тела, и с учётом этого система дифференциальных уравнений имеет решение^[16]:

${\displaystyle h=e_{\text{free}}\sin(At+\beta )+h_{0}(t),}$

${\displaystyle k=e_{\text{free}}\cos(At+\beta )+k_{0}(t),}$

${\displaystyle p=I_{\text{free}}\sin(Bt+\gamma )+p_{0}(t),}$

${\displaystyle q=I_{\text{free}}\cos(At+\gamma )+q_{0}(t).}$

Здесь ${\displaystyle t}$ — время, а ${\displaystyle e_{\text{free}},I_{\text{free}},\beta ,\gamma }$ — константы, которые зависят из начальных условий. ${\displaystyle h_{0},k_{0},p_{0},q_{0}}$ — величины, зависящие от параметров орбиты возмущающих тел, а также от большой полуоси орбиты пробной частицы, но не от других элементов орбиты. Последние четыре параметра меняются со временем. Такие же по форме решения получаются и при рассмотрении большего количества возмущающих тел^[17].

Полученные решения имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Для этого вводятся следующие величины^[18]:

${\displaystyle e_{\text{forced}}={\sqrt {h_{0}^{2}+k_{0}^{2}}}}$

${\displaystyle I_{\text{forced}}={\sqrt {p_{0}^{2}+q_{0}^{2}}}}$

Сначала можно рассмотреть отдельно решение ${\displaystyle \{h,k\}}$. Из определения данных величин следует, что точка на плоскости ${\displaystyle (k,h)}$ имеет радиус-вектор, по модулю равный ${\displaystyle e}$ и образует угол ${\displaystyle \varpi }$ с осью ${\displaystyle k}$. С учётом вида этого решения можно представить его как сумму двух векторов: первый соединяет начало координат с точкой ${\displaystyle (h_{0},k_{0})}$, имеет модуль ${\displaystyle e_{\text{forced}}}$ и образует угол, который можно назвать ${\displaystyle \varpi _{\text{forced}}}$, с осью ${\displaystyle k}$. Второй вектор соединяет точки ${\displaystyle (h_{0},k_{0})}$ с ${\displaystyle (h,k)}$, имеет модуль ${\displaystyle e_{\text{free}}}$ и составляет угол ${\displaystyle \varpi _{\text{free}}=At+\beta }$ с осью ${\displaystyle k}$^[18].

Таким образом, изменение оскулирующих элементов орбиты частицы можно представить как движение в плоскости ${\displaystyle (k,h)}$. В этих координатах частица равномерно движется по окружности с радиусом ${\displaystyle e_{\text{free}}}$ вокруг точки ${\displaystyle (h_{0},k_{0})}$, которая, в свою очередь, перемещается сложным образом. Аналогичные рассуждения и выводы можно получить для решения ${\displaystyle \{p,q\}}$. Значения ${\displaystyle e_{\text{free}},I_{\text{free}},\varpi _{\text{free}},\Omega _{\text{free}}}$ называются собственными (или свободными) элементами орбиты, которые практически не изменяются со временем^{[комм. 4]} и их можно считать фундаментальными свойствами орбиты частицы. Значения ${\displaystyle e_{\text{forced}},I_{\text{forced}},\varpi _{\text{forced}},\Omega _{\text{forced}}}$ называют вынужденными элементами — они меняются со временем и зависят от возмущений^[20].

Проведённый выше анализ не показывает различий между оскулирующей и собственной большую полуосью орбиты, поскольку в нём не принимались во внимание короткопериодические возмущения, однако только такие возмущения влияют на большую полуось. Поскольку на длительных промежутках времени вклад короткопериодических возмущений «усредняется» и сводится к нулю, большая полуось не демонстрирует долговременных изменений^[19][21].

Собственные элементы являются квази-интегралами движения и остаются неизменными в течение очень длительного времени. Они отражают некоторым образом «усреднённые» по времени характеристики движения небесного тела, в которых исключено влияние коротко- и долгопериодических возмущений^[22].

Существуют различные способы вычисления собственных элементов на основе наблюдаемых величин. В общих чертах для этого сначала составляется модель сил, действующих на исследуемое тело, производится усреднение элементов орбиты по времени, чтобы избавиться от влияния короткопериодических возмущений, а затем производится вычисление остальных возмущений и вычитание вынужденных элементов из оскулирующих^[19][22][23].

Собственные элементы широко используются для изучения, например, динамики пояса астероидов, а также для разделения астероидов на семейства (см. ниже➤)^[22][23]. В следующей таблице представлены собственные и оскулирующие элементы Цереры на эпоху MJD 59800,0 (9 августа 2022 года)^[24][25]:

Элементы орбиты Цереры

	${\displaystyle a}$, а.е.	${\displaystyle e}$	${\displaystyle i}$, °
Собственные	2,7612	0,115	9,660
Оскулирующие	2,7666	0,0786	10,587

В 1918 году Киёцугу Хираяма построил диаграммы (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle e}$) и (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle i}$) для известных астероидов и обнаружил, что в некоторых областях на диаграмме наблюдается скучивание. Первоначально Хираяма строил диаграммы для оскулирующих элементов, но впоследствии использовал собственные элементы, на которых скучивание было заметно более явно^[19][22][26].

Таким способом было выделено множество семейств, например, семейства Фемиды, Эос, Корониды, Марии. Считается, что семейства астероидов возникают при полном или частичном разрушении «родительского» астероида в результате столкновения: фрагменты приобретают небольшую относительную скорость по сравнению со скоростью движения по орбите, и остаются близко друг к другу в фазовом пространстве собственных элементов орбиты на протяжении длительного времени^[23].

• Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы / пер. с англ. под ред. И. И. Шевченко. — М.: Физматлит, 2010. — 588 с. — ISBN 978-5-9221-1121-8.
• Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии. — 2-е изд., испр. — М.: УРСС, 2004. — 544 с. — ISBN 5-354-00866-2.
• Karttunen H., Kroger P., Oja H., Poutanen M., Donner K. J. Fundamental Astronomy. — 6th Edition. — Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 2016. — 550 p. — ISBN 978-3-662-53045-0.

Эта статья входит в число добротных статей русскоязычного раздела Википедии.