Home
Blog
About Us
Contact
French
Deutsch
English
...
Home
Blog
About Us
Contact
Список интегралов от обратных тригонометрических функций — Википедия
Ниже приведён список
интегралов
(
первообразных
функций) от
обратных тригонометрических функций
.
Содержание
1
Арксинус
2
Арккосинус
3
Арктангенс
4
Арккотангенс
5
Арксеканс
6
Арккосеканс
7
Библиография
Арксинус
[
править
|
править код
]
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
∫
arcsin
x
a
d
x
=
x
arcsin
x
a
+
a
2
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arcsin {\frac {x}{a}}\,dx=x\arcsin {\frac {x}{a}}+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}
∫
x
arcsin
x
a
d
x
=
(
x
2
2
−
a
2
4
)
arcsin
x
a
+
x
4
a
2
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int x\arcsin {\frac {x}{a}}\,dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{4}}\right)\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{4}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}
∫
x
2
arcsin
x
a
d
x
=
x
3
3
arcsin
x
a
+
x
2
+
2
a
2
9
a
2
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int x^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x^{2}+2a^{2}}{9}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}
∫
x
n
arcsin
x
d
x
=
1
n
+
1
(
x
n
+
1
arcsin
x
+
x
n
1
−
x
2
−
n
x
n
−
1
arcsin
x
n
−
1
+
n
∫
x
n
−
2
arcsin
x
d
x
)
{\displaystyle \int x^{n}\arcsin x\,dx={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\arcsin x+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{2}}}-nx^{n-1}\arcsin x}{n-1}}+n\int x^{n-2}\arcsin x\,dx\right)}
∫
cos
n
x
arcsin
x
d
x
=
(
x
n
2
+
1
arccos
x
+
x
n
1
−
x
4
−
n
x
n
2
−
1
arccos
x
n
2
−
1
+
n
∫
x
n
2
−
2
arccos
x
d
x
)
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\arcsin x\,dx=\left(x^{n^{2}+1}\arccos x+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{4}}}-nx^{n^{2}-1}\arccos x}{n^{2}-1}}+n\int x^{n^{2}-2}\arccos x\,dx\right)}
Арккосинус
[
править
|
править код
]
∫
arccos
x
d
x
=
x
arccos
x
−
1
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arccos x\,dx=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C}
∫
arccos
x
a
d
x
=
x
arccos
x
a
−
a
2
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int \arccos {\frac {x}{a}}\,dx=x\arccos {\frac {x}{a}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}
∫
x
arccos
x
a
d
x
=
(
x
2
2
−
a
2
4
)
arccos
x
a
−
x
4
a
2
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int x\arccos {\frac {x}{a}}\,dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{4}}\right)\arccos {\frac {x}{a}}-{\frac {x}{4}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}
∫
x
2
arccos
x
a
d
x
=
x
3
3
arccos
x
a
−
x
2
+
2
a
2
9
a
2
−
x
2
+
C
{\displaystyle \int x^{2}\arccos {\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\arccos {\frac {x}{a}}-{\frac {x^{2}+2a^{2}}{9}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}
Арктангенс
[
править
|
править код
]
∫
arctg
x
d
x
=
x
arctg
x
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}
∫
arctg
x
a
d
x
=
x
arctg
x
a
−
a
2
ln
(
1
+
x
2
a
2
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}-{\frac {a}{2}}\ln(1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}})+C}
∫
x
arctg
x
a
d
x
=
(
a
2
+
x
2
)
arctg
x
a
−
a
x
2
+
C
{\displaystyle \int x\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {(a^{2}+x^{2})\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}-ax}{2}}+C}
∫
x
2
arctg
x
a
d
x
=
x
3
3
arctg
x
a
−
a
x
2
6
+
a
3
6
ln
(
a
2
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int x^{2}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}-{\frac {ax^{2}}{6}}+{\frac {a^{3}}{6}}\ln({a^{2}+x^{2}})+C}
∫
x
n
arctg
x
a
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
arctg
x
a
−
a
n
+
1
∫
x
n
+
1
a
2
+
x
2
d
x
,
n
≠
−
1
{\displaystyle \int x^{n}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}-{\frac {a}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}}{a^{2}+x^{2}}}\,dx,\quad n\neq -1}
Арккотангенс
[
править
|
править код
]
∫
arcctg
x
d
x
=
x
arcctg
x
+
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcctg} \,x+{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}
∫
arcctg
x
a
d
x
=
x
arcctg
x
a
+
a
2
ln
(
a
2
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx=x\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+{\frac {a}{2}}\ln(a^{2}+x^{2})+C}
∫
x
arcctg
x
a
d
x
=
a
2
+
x
2
2
arcctg
x
a
+
a
x
2
+
C
{\displaystyle \int x\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {a^{2}+x^{2}}{2}}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+{\frac {ax}{2}}+C}
∫
x
2
arcctg
x
a
d
x
=
x
3
3
arcctg
x
a
+
a
x
2
6
−
a
3
6
ln
(
a
2
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int x^{2}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+{\frac {ax^{2}}{6}}-{\frac {a^{3}}{6}}\ln(a^{2}+x^{2})+C}
∫
x
n
arcctg
x
a
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
arcctg
x
a
+
a
n
+
1
∫
x
n
+
1
a
2
+
x
2
d
x
,
n
≠
−
1
{\displaystyle \int x^{n}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+{\frac {a}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}}{a^{2}+x^{2}}}\,dx,\quad n\neq -1}
Арксеканс
[
править
|
править код
]
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
|
x
+
x
x
2
−
1
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcsec} x\,dx=x\operatorname {arcsec} x-\ln \left|x+x{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right|+C}
∫
arcsec
x
a
d
x
=
x
arcsec
x
a
+
x
a
|
x
|
ln
|
x
±
x
2
−
1
|
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}\,dx=x\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{a|x|}}\ln \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C}
∫
x
arcsec
x
d
x
=
1
2
(
x
2
arcsec
x
−
x
2
−
1
)
+
C
{\displaystyle \int x\operatorname {arcsec} x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x^{2}\operatorname {arcsec} x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C}
∫
x
n
arcsec
x
d
x
=
1
n
+
1
(
x
n
+
1
arcsec
x
−
1
n
[
x
n
−
1
x
2
−
1
+
[
1
−
n
]
(
x
n
−
1
arcsec
x
+
(
1
−
n
)
∫
x
n
−
2
arcsec
x
d
x
)
]
)
{\displaystyle \int x^{n}\operatorname {arcsec} x\,dx={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\operatorname {arcsec} x-{\frac {1}{n}}\left[x^{n-1}{\sqrt {x^{2}-1}}+[1-n]\left(x^{n-1}\operatorname {arcsec} x+(1-n)\int x^{n-2}\operatorname {arcsec} x\,dx\right)\right]\right)}
Арккосеканс
[
править
|
править код
]
∫
arccosec
x
d
x
=
x
arccosec
x
+
ln
|
x
+
x
x
2
−
1
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccosec} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left|x+x{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right|+C}
∫
arccosec
x
a
d
x
=
x
arccosec
x
a
+
a
ln
(
x
a
(
1
−
a
2
x
2
+
1
)
)
+
C
{\displaystyle \int \,\operatorname {arccosec} \,{\frac {x}{a}}\,dx=x\,\operatorname {arccosec} \,{\frac {x}{a}}+{a}\ln {\left({\frac {x}{a}}\left({\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}+1\right)\right)}+C}
∫
x
arccosec
x
a
d
x
=
x
2
2
arccosec
x
a
+
a
x
2
1
−
a
2
x
2
+
C
{\displaystyle \int x\,\operatorname {arccosec} \,{\frac {x}{a}}\,dx={\frac {x^{2}}{2}}\,\operatorname {arccosec} \,{\frac {x}{a}}+{\frac {ax}{2}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}+C}
Библиография
[
править код
]
Книги
Градштейн И. С., Рыжик И. М.
Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений
(рус.)
. — 4-е изд. —
М.
: Наука, 1963.
Двайт Г. Б.
Таблицы интегралов
(рус.)
. —
СПб.
: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. —
ISBN 5-85529-029-8
.
Zwillinger D.
CRC Standard Mathematical Tables and Formulae
(англ.)
. — 31st ed. — 2002. —
ISBN 1-58488-291-3
.
Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. —
М.
: Наука, 1979. — 832 с. —
50 000 экз.
Корн Г. А., Корн Т. М.
Справочник по математике для научных работников и инженеров
. —
М.
: «
Наука
», 1974. — 832 с.
Таблицы интегралов
Интегралы на EqWorld
S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas
Вычисление интегралов
The Integrator
(на
Wolfram Research
)
Империя Чисел
Методы вычисления неопределённых интегралов
Списки интегралов по типам функций
Элементарные
рациональные
иррациональные
тригонометрические
обратные
гиперболические
обратные
экспоненциальные
логарифмические
функции
Тригонометрия
Общее
Обзор тригонометрии
История
Использование
Функции
Обратные
Редко используемые
Обобщённая тригонометрия
Справочник
Тождества
Точные константы
Таблицы
Единичная окружность
Законы и теоремы
Теорема синусов
Теорема Пифагора
Теорема косинусов
Теорема тангенсов
Теорема котангенсов
Решение треугольников
Математический анализ
Тригонометрическая подстановка
Интегралы
(
обратные функции
)
Производные