Стохастический интеграл — Википедия

Стохастический интеграл — интеграл вида , где  — случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стилтьеса[1].

Стохастический интеграл от детерминированной функции

[править | править код]

Введем гильбертово пространство случайных величин , , со скалярным произведением и среднеквадратичной нормой . Здесь - обозначает математическое ожидание. В рамках гильбертова пространства можно описать важнейшие характеристики случайных величин, такие как условные математические ожидания, условные вероятности и т.д.[2]

Пусть - конечный или бесконечный отрезок действительной прямой и на его полуинтервалах вида задана стохастическая аддитивная функция с ортогональными значениями из гильбертова пространства случайных величин , , обладающая свойствами:

  • Для любых непересекающихся , , величины , являются ортогональными, то есть их скалярное произведение в гильбертовом пространстве равно нулю:
  • Если , являются непересекающимися полуинтервалами и составляет полуинтервал, то
  • . Здесь - норма в гильбертовом пространстве, при .

Пусть детерминированная функция, удовлетворяющая условию . Рассмотрим последовательность кусочно-постоянных функций , аппроксимирующих функцию так, что ,

Стохастическим интегралом от детерминированной функции называется предел[3]

Стохастический интеграл от стохастического процесса

[править | править код]

Рассмотрим интеграл

где  — винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал точками на подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений[4]:

или

Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса[5]

Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру сумму интегралов и следующей формулой[5]:

при . Интеграл соответствует интегралу Ито, а совпадает с интегралом Стратоновича.

Интеграл Стратоновича

[править | править код]

Интеграл Стратоновича имеет вид[6]

Интеграл Ито

[править | править код]

Интеграл Ито имеет вид[5]

Его основные свойства[5]:

Здесь — функция среднего значения, ковариационная функция.

Интеграл Винера

[править | править код]

Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число . Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции . Интеграл вида

называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется интегрированием по частям с учётом равенства [7]:

Его основные свойства:

[8].
[9].

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Острём, К. Ю.. Введение в стохастическую теорию управления / пер. с англ. С. А. Анисисмова, Н. Е. Арутюновой, А. Л. Бунича; под ред. Н. С. Райбмана. — М.: Мир, 1973.
  • Винер, Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
  • Ю.А. Розанов. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1982. — 128 с.