Теорема Куранта — Фишера — Википедия

Теорема Куранта — Фишера — теорема о свойстве эрмитова оператора в гильбертовом пространстве функций. Также называется теоремой о минимаксе^[1].

${\displaystyle \lambda _{k}=\inf \limits _{L_{k}}\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)}$

${\displaystyle A}$ — линейный самосопряжённый оператор, действующий в конечномерном комплексном или действительном пространстве,

${\displaystyle S}$ — единичная сфера,

${\displaystyle e=e_{1},\dots ,e_{n}}$ — ортонормированный базис пространства ${\displaystyle V}$, состоящий из собственных векторов оператора ${\displaystyle A}$,

${\displaystyle \lambda _{k}}$ — ${\displaystyle k}$-ое собственное значение оператора ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq \lambda _{n}}$

${\displaystyle L_{k}}$ — ${\displaystyle k}$-мерное подпространство ${\displaystyle V}$.

${\displaystyle p=n-k+1}$,
${\displaystyle L_{k}}$ — ${\displaystyle k}$-мерное подпространство ${\displaystyle V}$,
${\displaystyle W_{n-k+1}}$ — линейная оболочка векторов ${\displaystyle e_{k}\dots e_{n}}$.
${\displaystyle \dim L_{k}+\dim W_{n-k+1}=n+1}$.
Откуда следует, что ${\displaystyle L_{k}\cap W_{n-k+1}\neq {\varnothing }}$. Пусть ${\displaystyle x_{0}\in L_{k}\cap W_{n-k+1}}$ и ${\displaystyle \ \|x_{0}\|=1}$.
Так как ${\displaystyle \lambda _{k}=\inf \limits _{x\in W_{n-k+1}\cap S}(Ax,x),}$ то ${\displaystyle (Ax_{0},x_{0})\geq \lambda _{k}}$.
С другой стороны: так как ${\displaystyle x_{0}\in L_{k}}$ то

${\displaystyle \sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)\geq \lambda _{k}}$

${\displaystyle \inf \limits _{L_{k}}\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)\geq \lambda _{k}}$

Равенство достигается при ${\displaystyle L_{k}=L({e_{1}\dots e_{k}})}$.

Очевидно, что ${\displaystyle \sup \limits _{L_{k}}\inf \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)=\inf \limits _{L_{n-k+1}}\sup \limits _{x\in L_{n-k+1}\cap S}(Ax,x)}$.

1. Р. Беллман. Введение в теорию матриц
2. Ланкстер. Теория Матриц
3. Прасолов Задачи и теоремы линейной алгебры.
4. Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Для улучшения этой статьи желательно: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Оформить список литературы. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.