Фигурные числа — Википедия

Фигурные числа — числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам, которые развивали алгебру на геометрической основе и представляли любое положительное целое число в виде набора точек на плоскости^[1]. Отголоском этого подхода остались выражения «возвести число в квадрат» или «в куб»^[2].

Традиционно различают два основных класса фигурных чисел^[3]:

• плоские многоугольные числа — числа, связанные с определённым многоугольником. Они делятся на классические➤ и центрированные➤;
• пространственные многогранные числа — числа, связанные с определённым многогранником➤.

В свою очередь, каждый класс фигурных чисел делится на разновидности, каждая из которых связана с определённой геометрической фигурой: треугольником, квадратом, тетраэдром и т. д.

Существуют также обобщения фигурных чисел на многомерные пространства➤. В древности, когда арифметика не отделялась от геометрии, рассматривались ещё несколько видов фигурных чисел, в настоящее время не используемых➤.

В теории чисел и комбинаторике фигурные числа связаны с многими другими классами целых чисел➤ — биномиальными коэффициентами, совершенными числами, числами Мерсенна, Ферма, Фибоначчи, Люка и другими^[4].

Для краткости в этом разделе классические многоугольные числа называются просто «многоугольными числами».

Многоугольные числа — это последовательность, указывающая число точек, построенную согласно правилам, которые проиллюстрируем на примере семиугольника. Ряд семиугольных чисел начинается с 1 (базовая точка), затем следует 7, потому что 7 точек образуют правильный семиугольник, 6 точек добавились. Третье число соответствует семиугольнику, у которого стороны содержат уже не по две, а по три точки, причём все точки, построенные на предыдущих шагах, также учитываются. Из рисунка видно, что третья фигура содержит 18 точек, прибавка (Пифагор называл её «гномон») составила 11 точек. Нетрудно видеть, что прибавки образуют арифметическую прогрессию, в которой каждый член на 5 больше, чем предыдущий^[5].

Переходя к общему ${\displaystyle k}$-угольнику, можно заключить, что на каждом шаге число точек, соответствующее фигурному числу, увеличивается как сумма арифметической прогрессии^[5] с первым членом 1 и разностью ${\displaystyle k-2.}$

Общее определение k-угольного числа для любого ${\displaystyle k\geqslant 3}$ следует из представленного выше геометрического построения. Его можно сформулировать следующим образом^[6]:

${\displaystyle n}$-е по порядку k-угольное число ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ есть сумма первых ${\displaystyle n}$ членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен 1, а разность равна ${\displaystyle k-2.}$

Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда ${\displaystyle 1+2+3+4\dots }$, а четырёхугольным (квадратным) числам соответствует ряд ${\displaystyle 1+3+5+7\dots }$

Последовательность k-угольных чисел имеет вид^[7]:

${\displaystyle 1,\;k,\;3k-3,\;6k-8,\;10k-15,\;15k-24,\;21k-35,\;28k-48,\;36k-63,\;45k-80\dots }$

Общую формулу для явного подсчёта ${\displaystyle n}$-го по порядку k-угольного числа ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ можно получить, представив его как сумму арифметической прогрессии^[8]:

${\textstyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}={\frac {(k-2)n^{2}-(k-4)n}{2}}={\frac {1}{2}}k(n^{2}-n)-n^{2}+2n}$.

(ОКФ)

В некоторых источниках последовательность фигурных чисел начинают с нуля (например, в A000217):

${\displaystyle 0,\;1,\;k,\;3k-3,\dots }$

В этом случае в общей формуле для ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ допускается ${\displaystyle n=0.}$ В данной статье фигурные числа нумеруются начиная с единицы, а расширенный ряд оговаривается особо.

Существует также рекуррентная формула для вычисления многоугольного числа^[8]:

${\displaystyle P_{n}^{(k)}={\begin{cases}1,&n=1\\P_{n-1}^{(k)}+(k-2)(n-1)+1,&n>1\end{cases}}}$.

При увеличении числа сторон ${\displaystyle k}$ на единицу соответствующие фигурные числа изменяются согласно формуле Никомаха^[9]:

${\displaystyle P_{n}^{(k+1)}=P_{n}^{(k)}+P_{n-1}^{(3)}}$, где ${\displaystyle n>1}$.

(Никомах)

Поскольку ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ линейно зависит от ${\displaystyle k,}$ справедлива формула:

${\displaystyle P_{n}^{(k+s)}+P_{n}^{(k-s)}=2P_{n}^{(k)}}$, где ${\displaystyle s=0,1,2\dots k-3}$.

Другими словами, каждое многоугольное число есть среднее арифметическое для равноотстоящих от него по ${\displaystyle k}$ многоугольных чисел с тем же номером.

Если ${\displaystyle k}$ — простое число, то второе ${\displaystyle k}$-угольное число, равное ${\displaystyle k}$, также простое; это единственная ситуация, когда многоугольное число является простым, к чему можно прийти, записав общую формулу в следующем виде:

${\textstyle P_{n}^{(k)}={\frac {2+(n-1)(k-2)}{2}}n}$.

Доказательство: пусть ${\displaystyle n>2.}$ Если ${\displaystyle n}$ чётно, то фигурное число делится на ${\textstyle {\frac {n}{2}}}$, а если нечётно, то делится на ${\textstyle {\frac {2+(n-1)(k-2)}{2}}}$. В обоих случаях фигурное число оказывается составным^[10].

Ряды из обратных многоугольных чисел

${\displaystyle {\frac {1}{P_{1}^{(k)}}}+{\frac {1}{P_{2}^{(k)}}}+{\frac {1}{P_{3}^{(k)}}}+\dots +{\frac {1}{P_{n}^{(k)}}}+\dots }$

сходятся. Их сумма ${\displaystyle S}$ может быть представлена в виде ${\textstyle S=-{\frac {2}{k-4}}\left(\gamma +\psi ({\frac {2}{k-2}})\right),}$ где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера — Маскерони, ${\displaystyle \psi (x)}$ — дигамма-функция^[11].

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие видные математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский, Теон Смирнский и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение ${\displaystyle k}$-угольного числа ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ как суммы ${\displaystyle n}$ членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть ${\displaystyle 1}$, а разность равна ${\displaystyle k-2}$. Диофант написал большое исследование «О многоугольных числах» (III век н. э.), фрагменты которого дошли до наших дней. Определение Гипсикла приводится в книге Диофанта в следующем виде^[12][13]:

Если взять сколько-нибудь чисел, начиная с единицы, имеющих одинаковые разности, то сумма их, если разность единица, будет треугольником, если же двойка, то четырёхугольником, а если тройка — пятиугольником. Количество углов определяется разностью, увеличенной на двойку, а сторона — количеством взятых чисел, считая и единицу.

О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), которые установили ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Пачоли, Кардано и др.)^[14][4].

В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Валлис, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. В сентябре 1636 года^[15] Ферма сформулировал в письме Мерсенну теорему, которая сегодня называется теоремой Ферма о многоугольных числах^[14]:

Я первым открыл очень красивую и совершенно общую теорему о том, что каждое число является либо треугольным, либо суммой двух или трёх треугольных чисел; каждое число или квадратное, или является суммой двух, трёх или четырёх квадратов; или пятиугольное, или является суммой двух, трёх, четырёх или пяти пятиугольных чисел, и т. д. до бесконечности, будь то для шестиугольных, семиугольных или любых многоугольных чисел. Я не могу дать здесь доказательство, которое зависит от многочисленных и запутанных тайн чисел, ибо я намерен посвятить этой теме целую книгу и получить в этой части арифметики удивительные достижения по сравнению с ранее известными пределами.

Вопреки обещанию, Ферма так и не опубликовал доказательство этой теоремы, которую в письме Паскалю (1654) назвал своим главным достижением в математике^[15]. Проблемой занимались многие выдающиеся математики — в 1770 году Лагранж доказал теорему для квадратных чисел (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов), в 1796 году Гаусс дал доказательство для треугольных. Полное доказательство теоремы сумел дать Коши в 1813 году^[16][17].

Последовательность треугольных чисел:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210 …, ${\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$ … (последовательность A000217 в OEIS)

Свойства^[18]:

Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное. Никакое треугольное число не может (в десятичной записи) оканчиваться цифрами 2, 4, 7, 9^[19].

Обозначим для краткости ${\displaystyle n}$-е треугольное число: ${\textstyle T_{n}=P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)}{2}}.}$ Тогда справедливы рекуррентные формулы:

${\displaystyle T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1}}$;

${\displaystyle T_{2n+1}=3T_{n}+T_{n+1}}$.

Формула Баше де Мезириака: общую формулу многоугольного числа можно преобразовать так, что она покажет выражение любого многоугольного числа через треугольные:

${\textstyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}=(k-2)T_{n-1}+n=(k-3)T_{n-1}+T_{n}}$.

(Баше)

Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число):

${\displaystyle T_{n}+T_{n+1}=(n+1)^{2}=P_{n+1}^{(4)}}$.

Из теоремы Ферма о многоугольных числах следует, что любое натуральное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел.

Сумма конечного ряда треугольных чисел вычисляется по формуле:

${\displaystyle S_{m-1}=1+3+6+\dots +{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m^{3}-m}{6}}}$.

Ряд из чисел, обратных треугольным (телескопический ряд), сходится^[20]:

${\displaystyle 1+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+\dots =2\sum _{n=1}^{\infty }\left({1 \over n}-{1 \over n+1}\right)=2}$.

Удвоенные треугольные числа дают последовательность (определённых ниже➤) прямоугольных чисел.

Натуральное число ${\displaystyle N}$ является треугольным тогда и только тогда, когда число ${\displaystyle 8N+1}$ является квадратным➤^[21].

Известное в мистике «число зверя» (666) является 36-м треугольным. Оно является наименьшим треугольным числом, которое представимо в виде суммы квадратов треугольных чисел^[22]: ${\displaystyle 666=15^{2}+21^{2}}$.

Треугольные числа образуют третью диагональную линию треугольника Паскаля➤.

${\displaystyle 0+\color {blue}1\color {black}=1}$	${\displaystyle 1+\color {blue}3\color {black}=4}$	${\displaystyle 4+\color {blue}5\color {black}=9}$	${\displaystyle 9+\color {blue}7\color {black}=16}$

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 …, ${\displaystyle n^{2}}$ … (последовательность A000290 в OEIS).

Каждое квадратное число, кроме единицы, есть сумма двух последовательных треугольных чисел^[23]:

${\displaystyle n^{2}=T_{n-1}+T_{n}}$. Примеры: ${\displaystyle 4=1+3;\quad 9=3+6;\quad 16=6+10}$ и т. д.

Сумма квадратного числа с предшествующим ему по номеру треугольным числом даёт пятиугольное число:

${\displaystyle n^{2}+T_{n-1}=P_{n}^{(5)}}$.

Эта теорема была впервые опубликована Никомахом («Введение в арифметику», II век)^[24].

Сумма квадратов первых ${\displaystyle n}$ натуральных чисел вычисляется по формуле^[25]:

${\textstyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$.

Ряд обратных квадратных чисел сходится^[26]:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\dots +{\frac {1}{n^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$.

Каждое натуральное число может быть представлено как сумма не более четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи: произведение суммы двух квадратных чисел на любую другую сумму двух квадратных чисел само представимо в виде суммы двух квадратных чисел.

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}.}$

Поскольку второе слагаемое справа может быть равно нулю, здесь следует рассматривать расширенный ряд квадратных чисел, начинающийся не с 1, а с нуля (см. A000290).

Пример:

${\displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}}$.

Последовательность пятиугольных чисел имеет вид:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590 …, ${\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$ … (последовательность A000326 в OEIS).

Пятиугольные числа тесно связаны с треугольными^[24]:

${\displaystyle P_{n}^{(5)}={\frac {n(3n-1)}{2}}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}={\frac {1}{3}}T_{3n-1}}$.

Как уже упоминалось выше, пятиугольное число, начиная со 2-го номера, можно представить как сумму квадратного и треугольного числа:

${\displaystyle P_{n}^{(5)}=n^{2}+T_{n-1}}$.

Если в формуле ${\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$ указать для ${\displaystyle n}$ более общую последовательность:

${\displaystyle n=0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3\dots }$.

то получатся обобщённые пятиугольные числа:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155… (последовательность A001318 в OEIS).

Леонард Эйлер обнаружил обобщённые пятиугольные числа в следующем тождестве:

${\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\ldots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+\ldots }$.

Степени ${\displaystyle x}$ в правой части тождества образуют последовательность обобщённых пятиугольных чисел^[27].

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780 …, ${\displaystyle 2n^{2}-n}$ … (последовательность A000384 в OEIS).

Последовательность шестиугольных чисел получается из последовательности треугольных чисел вычёркиванием элементов с чётными номерами^[28]: ${\displaystyle P_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(3)}}$.

Натуральное число ${\displaystyle N}$ является шестиугольным тогда и только тогда, когда число ${\textstyle {\frac {{\sqrt {8N+1}}+1}{4}}}$ является натуральным➤.

Двенадцатиугольные числа вычисляются по формуле ${\displaystyle 5n^{2}-4n}$:

1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 1729, 1920 … (последовательность A051624 в OEIS).

В десятичной системе ${\displaystyle n}$-ое двенадцатиугольное число заканчивается на ту же цифру, что и само число ${\displaystyle n}$. Это следует из очевидного сравнения: ${\displaystyle 5n(n-1)\equiv 0{\pmod {10}},}$ откуда получаем: ${\displaystyle 5n^{2}-4n\equiv n{\pmod {10}}}$ ■.

Задача 1 (задача Диофанта): дано натуральное число ${\displaystyle N>2}$. Определить, является ли оно многоугольным числом ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ и если да, то для каких ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle n}$. Диофант сформулировал эту проблему так: «выяснить, сколько раз данное число встречается среди всевозможных многоугольных чисел»^[29].

Решение задачи сводится к решению «диофантова уравнения» (см. общую формулу):

${\displaystyle N=P_{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n^{2}-(k-4)n}{2}},}$ или: ${\displaystyle 2N-2n=(k-2)(n^{2}-n)}$.

Перепишем полученное уравнение в виде: ${\displaystyle k-2={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}}$.

Знаменатели дробей справа взаимно просты; сумма или разность таких дробей может быть целым числом только если каждая дробь есть целое число^[30], поэтому ${\displaystyle 2N-2}$ кратно ${\displaystyle n-1}$, а ${\displaystyle 2N}$ кратно ${\displaystyle n}$.

В результате алгоритм решения приобретает следующую форму^[29]:

1. Выписать все натуральные делители числа ${\displaystyle 2N}$ (включая ${\displaystyle 1}$ и само ${\displaystyle 2N}$).
2. Выписать все натуральные делители числа ${\displaystyle 2N-2}$.
3. Отобрать из первого набора те числа, которые на ${\displaystyle 1}$ больше какого-либо числа из второго набора. Эти числа соответствуют ${\displaystyle n}$.
4. Для каждого отобранного ${\displaystyle n}$ подсчитать ${\textstyle k={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}+2}$.
5. Вычеркнуть пары ${\displaystyle (n,\;k)}$, в которых ${\displaystyle k<3}$.

Тогда все соответствующие оставшимся парам числа ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ равны ${\displaystyle N}$.

Пример^[29]. Пусть ${\displaystyle N=105}$.

• Делители ${\displaystyle 2N=210\colon \quad 1,\;2,\;3,\;5,\;6,\;7,\;10,\;14,\;15,\;21,\;30,\;35,\;42,\;70,\;105,\;210}$.
• Делители ${\displaystyle 2N-2=208\colon \quad 1,\;2,\;4,\;8,\;13,\;16,\;26,\;52,\;104,\;208}$.
• Отбор ${\displaystyle n=2,\;3,\;5,\;14,\;105}$.
• Соответственно ${\displaystyle k=105,\;36,\;12,\;14,\;2}$. Последнее значение следует отбросить.

Ответ: ${\displaystyle 105}$ может быть представлено как ${\displaystyle P_{2}^{(105)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14)}}$, то есть как 2-е 105-угольное, 3-е 36-угольное, 5-е 12-угольное и 14-е 14-угольное число.

Задача 2: дано натуральное число ${\displaystyle N>2,}$ требуется определить, является ли оно ${\displaystyle k}$-угольным числом ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$. В отличие от задачи 1, здесь ${\displaystyle k}$ задано.

Для решения можно использовать тождество Диофанта^[31]:

${\displaystyle 8(k-2)P_{n}^{(k)}+(k-4)^{2}=(2n(k-2)-(k-4))^{2}}$

Это тождество получается из приведённой выше общей формулы для ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ и равносильно ей. Из тождества вытекает решение: если ${\displaystyle N}$ есть ${\displaystyle k}$-угольное число, то есть ${\displaystyle N=P_{n}^{(k)}}$ для некоторого ${\displaystyle n,}$ то ${\displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2}}$ есть некоторое квадратное число ${\displaystyle R^{2}}$, и обратно. При этом номер ${\displaystyle n}$ находится по формуле^[31]:

${\textstyle n={\frac {R+k-4}{2k-4}}}$.

Пример^[31]. Определим, является ли число ${\displaystyle 1540}$ 10-угольным. Значение ${\displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2}}$ здесь равно ${\displaystyle 98596=314^{2},}$ поэтому ответ утвердительный. ${\displaystyle n=20,}$ следовательно, ${\displaystyle 1540}$ является 20-м 10-угольным числом.

Степенной ряд, коэффициенты которого — ${\displaystyle k}$-угольные числа, сходится при ${\displaystyle |x|<1}$:

${\textstyle P_{1}^{(k)}x+P_{2}^{(k)}x^{2}+P_{3}^{(k)}x^{3}+\dots ={\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{3}}}}$.

Выражение справа является производящей функцией для последовательности ${\displaystyle k}$-угольных чисел^[32].

Аппарат производящих функций позволяет применять в теории чисел и комбинаторике методы математического анализа. Приведённая формула также объясняет появление ${\displaystyle k}$-угольных чисел среди коэффициентов ряда Тэйлора для различных рациональных дробей. Примеры:

При ${\displaystyle k=3}$: ${\textstyle \qquad {\frac {x}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(3)}x+P_{2}^{(3)}x^{2}+P_{3}^{(3)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(3)}x^{n}+\dots }$;

При ${\displaystyle k=4}$: ${\textstyle \qquad {\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(4)}x+P_{2}^{(4)}x^{2}+P_{3}^{(4)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(4)}x^{n}+\dots }$;

При ${\displaystyle k=5}$: ${\textstyle \qquad {\frac {x(2x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(5)}x+P_{2}^{(5)}x^{2}+P_{3}^{(5)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(5)}x^{n}+\dots }$

и т. д.

Для некоторых классов многоугольных чисел существуют свои, специфические производящие функции. Например, для квадратных треугольных чисел ${\displaystyle 1,\;36,\;1225,\;41616,\;1413721\dots }$ производящая функция имеет следующий вид^[33]:

${\textstyle {\frac {x(1+x)}{(1-x)(1-34x+x^{2})}}=x+36x^{2}+1225x^{3}+\dots }$; ряд сходится при ${\displaystyle |x|<17-12{\sqrt {2}}}$.

Существует бесконечное количество «многофигурных» (или «мультимногоугольных»)^[34] чисел, то есть чисел, которые относятся одновременно к нескольким различным разновидностям фигурных чисел. Например, существуют треугольные числа, которые одновременно являются квадратными («квадратные треугольные числа»)^[35]:

${\displaystyle 1,\;36,\;1225,\;41616,\;1413721\dots }$ (последовательность A001110 в OEIS).

Треугольное число может также быть одновременно

• пятиугольным (последовательность A014979 в OEIS):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465…;

• шестиугольным (все треугольные числа с нечётным номером);
• семиугольным (последовательность A046194 в OEIS):

1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197921, 180458407386358101…

и т. д. Неизвестно, существуют ли числа, одновременно треугольные, квадратные и пятиугольные; проверка на компьютере чисел, меньших ${\displaystyle 10^{22166},}$ не обнаружила ни одного подобного числа, однако не доказано, что таковых не существует^[34].

Квадратное число может быть одновременно

• пятиугольным (последовательность A036353 в OEIS):

1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801…,

• шестиугольным (последовательность A046177 в OEIS):

1, 1225, 1413721, 1631432881, 1882672131025, 2172602007770041, 2507180834294496361, 2893284510173841030625…,

• семиугольным (последовательность A036354 в OEIS):

1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449…

и т. д.

Пятиугольное число может одновременно быть:

• шестиугольным (последовательность A046180 в OEIS):

1, 40755, 1533776805, 57722156241751, 2172315626468283465, 81752926228785223683195, 3076689623521787481625080301…,

• семиугольным (последовательность A048900 в OEIS):

1, 4347, 16701685, 64167869935, 246532939589097, 947179489733441251, 3639063353022941697757…

и т. д.

Шестиугольное число обязательно является также треугольным; оно также может одновременно быть семиугольным (последовательность A48903 в OEIS):

1, 121771, 12625478965, 1309034909945503, 135723357520344181225, 14072069153115290487843091…

Возможны и другие сочетания трёх и более разновидностей фигурных чисел. Например, как доказано выше➤, число ${\displaystyle 105}$ входит в четыре разновидности: ${\displaystyle P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{2}^{(105)}.}$ Полный список таких сочетаний от треугольных до 16-угольных чисел — см. последовательность A062712 в OEIS.

k	Разновидность фигурных чисел	Общая формула	n										Сумма обратных значений[36]	Номер OEIS
			1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	треугольное	1/2(n2 + n)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	2	A000217
4	квадратное	1/2(2n2 − 0n) = n2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	${\displaystyle \pi }$2/6	A000290
5	пятиугольное	1/2(3n2 − n)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	${\displaystyle 3\ln 3-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{3}}}$	A000326
6	шестиугольное	1/2(4n2 − 2n)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	2 ln 2	A000384
7	семиугольное	1/2(5n2 − 3n)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}{\sqrt {1-{\tfrac {2}{\sqrt {5}}}}}}$ ${\displaystyle +{\tfrac {5}{6}}\ln 5-{\tfrac {\sqrt {5}}{3}}\ln \left({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)}$	A000566
8	восьмиугольное	1/2(6n2 − 4n)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	3/4 ln 3 + ${\displaystyle \pi }$√3/12	A000567
9	девятиугольное	1/2(7n2 − 5n)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}(2\ln 14+4\cos {\tfrac {\pi }{7}}\ln \cos {\tfrac {3\pi }{14}}}$ ${\displaystyle +\ln \sin {\tfrac {\pi }{7}}\sin {\tfrac {\pi }{14}}-\ln \cos {\tfrac {\pi }{14}}\sin {\tfrac {3\pi }{14}}}$ ${\displaystyle +\pi \operatorname {tg} {\tfrac {3\pi }{14}})}$	A001106 A244646
10	десятиугольное	1/2(8n2 − 6n)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	ln 2 + ${\displaystyle \pi }$/6	A001107
11	11-угольное	1/2(9n2 − 7n)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415		A051682
12	12-угольное	1/2(10n2 − 8n)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460		A051624
13	13-угольное	1/2(11n2 − 9n)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505		A051865
14	14-угольное	1/2(12n2 − 10n)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	2/5 ln 2 + 3/10 ln 3 + ${\displaystyle \pi }$√3/10	A051866
15	15-угольное	1/2(13n2 − 11n)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595		A051867
16	16-угольное	1/2(14n2 − 12n)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640		A051868
17	17-угольное	1/2(15n2 − 13n)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685		A051869
18	18-угольное	1/2(16n2 − 14n)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	4/7 ln 2 − √2/14 ln (3 − 2√2) + ${\displaystyle \pi }$(1 + √2)/14	A051870
19	19-угольное	1/2(17n2 − 15n)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775		A051871
20	двадцатиугольное	1/2(18n2 − 16n)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820		A051872
21	21-угольное	1/2(19n2 − 17n)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865		A051873
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
1000	1000-угольное	1/2(998n2 − 996n)	1	1000	2997	5992	9985	14976	20965	27952	35937	44920		A195163
10000	10000-угольное	1/2(9998n2 − 9996n)	1	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		A167149

Центрированные ${\displaystyle k}$-угольные числа (${\displaystyle k\geqslant 3}$) — это класс фигурных чисел, получаемый следующим геометрическим построением. Сначала на плоскости фиксируется некоторая центральная точка. Затем вокруг неё строится правильный k-угольник с ${\displaystyle k}$ точками вершин, каждая сторона содержит две точки (см. рисунок). Далее снаружи строятся новые слои ${\displaystyle k}$-угольников, причём каждая их сторона на новом слое содержит на одну точку больше, чем в предыдущем слое, то есть начиная со второго слоя каждый следующий слой содержит на ${\displaystyle k}$ больше точек, чем предыдущий. Общее число точек внутри каждого слоя и принимается в качестве центрированного многоугольного числа (точка в центре считается начальным слоем)^[37].

Примеры построения центрированных многоугольных чисел:

Треугольные	Квадратные	Пятиугольные	Шестиугольные

Из построения видно, что центрированные многоугольные числа получаются как частичные суммы следующего ряда: ${\displaystyle 1+k+2k+3k+4k+\dots }$ (например, центрированные квадратные числа, для которых ${\displaystyle k=4,}$ образуют последовательность: ${\displaystyle 1,5,13,25,41\dots }$) Этот ряд можно записать как ${\displaystyle 1+k(1+2+3+4+\dots )}$, откуда видно, что в скобках — порождающий ряд для классических треугольных чисел (см. выше➤). Следовательно, каждая последовательность центрированных ${\displaystyle k}$-угольных чисел, начиная со 2-го элемента, может быть представлена как ${\displaystyle kT_{n-1}+1}$, где ${\displaystyle T_{n}~(n=1,\;2,\;3\dots )}$ — последовательность треугольных чисел. Например, центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числа плюс ${\displaystyle 1}$, порождающий ряд для них имеет вид: ${\displaystyle 1+4+8+12\dots }$^[38]

Из приведённой выше формулы для треугольных чисел можно выразить общую формулу для ${\displaystyle n}$-го центрированного ${\displaystyle k}$-угольного числа ${\displaystyle C_{n}^{(k)}}$^[38]:

${\textstyle C_{n}^{(k)}=1+k{\frac {n(n-1)}{2}}={\frac {kn^{2}-kn+2}{2}};\ n=1,\;2,\;3\dots }$

(ОЦФ)

Производящая функция для центрированных многоугольных чисел имеет вид^[39]:

${\textstyle f(x)={\frac {x(1+(k-2)x+x^{2})}{(1-x)^{3}}};\quad |x|<1}$.

${\displaystyle n}$-е по порядку центрированное треугольное число задаётся формулой:

${\textstyle C_{n}^{(3)}={\frac {3n^{2}-3n+2}{2}}}$.

Следствие (при ${\displaystyle n>1}$): ${\textstyle C_{n}^{(3)}=3T_{n-1}+1}$.

Первые элементы последовательности центрированных треугольных чисел:

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571 …, ${\textstyle {\frac {3n^{2}-3n+2}{2}}}$ (последовательность A005448 в OEIS).

Некоторые свойства^[40]:

1. Каждое центрированное треугольное число, начиная с 10, является суммой трёх последовательных классических треугольных чисел: ${\displaystyle C_{n}^{(3)}=P_{n}^{(3)}+P_{n-1}^{(3)}+P_{n-2}^{(3)}.}$
2. Из следствия общей формулы видно, что каждое центрированное треугольное число ${\displaystyle C_{n}^{(3)}}$ при делении на 3 даёт остаток 1, а частное (если оно положительно), есть классическое треугольное число ${\displaystyle T_{n-1}}$.
3. Некоторые центрированные треугольные числа являются простыми^[10]: 19, 31, 109, 199, 409 … (последовательность A125602 в OEIS).

1		5		13		25

${\displaystyle n}$-е по порядку центрированное 4-угольное (квадратное) число задаётся формулой:

${\textstyle C_{n}^{(4)}={(2n-1)^{2}+1 \over 2}=2n^{2}-2n+1=(n-1)^{2}+n^{2}}$.

Первые элементы последовательности центрированных квадратных чисел:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761 …, ${\displaystyle n^{2}+(n-1)^{2}\dots }$ (последовательность A001844 в OEIS).

Некоторые свойства^[41]:

1. Как видно из общей формулы, центрированное квадратное число есть сумма двух последовательных квадратов.
2. Все центрированные квадратные числа нечётны, и последняя цифра в их десятичном представлении меняется в цикле: 1-5-3-5-1.
3. Все центрированные квадратные числа и их делители дают остаток 1 при делении на 4, а при делении на 6, 8 или 12 дают остаток 1 или 5.
4. Все центрированные квадратные числа, за исключением 1, представляют длину гипотенузы в одной из пифагоровых троек (например, 3-4-5, 5-12-13). Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного расстояния в кварталах от центральной точки на квадратной решётке.
5. Разность между двумя последовательными классическими восьмиугольными числами есть центрированное квадратное число.
6. Некоторые центрированные квадратные числа являются простыми (как показано выше, классические квадратные числа, начиная с третьего по порядку, заведомо составные). Примеры простых центрированных квадратных чисел:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613 … (последовательность A027862 в OEIS).

${\displaystyle n}$-е по порядку центрированное пятиугольное число задаётся формулой:

${\textstyle C_{n}^{(5)}={\frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2}}}$.

Несколько первых центрированных пятиугольных чисел:

1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951 …, ${\textstyle {\frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2}}}$ … (последовательность A005891 в OEIS)

Чётность центрированных пятиугольных чисел меняется по правилу: чётное-чётное-нечётное-нечётное, и последняя десятичная цифра меняется в цикле: 6-6-1-1.

Некоторые центрированные пятиугольные числа являются простыми^[10]: 31, 181, 331, 391, 601 . . . (последовательность A145838 в OEIS).

${\displaystyle n}$-е по порядку центрированное шестиугольное число задаётся формулой:

${\displaystyle C_{n}^{(6)}=n^{3}-(n-1)^{3}=3n(n-1)+1}$.

Несколько первых центрированных шестиугольных чисел:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919 … ${\displaystyle 1+3n(n-1)}$ … (последовательность A003215 в OEIS).

Некоторые свойства^[42]:

1. Последний десятичный знак центрированных шестиугольных чисел меняется в цикле 1-7-9-7-1.
2. Сумма первых n центрированных шестиугольных чисел равна «кубическому числу» ${\displaystyle n^{3}}$.
3. Справедливо рекуррентное равенство: ${\displaystyle C_{n}^{(6)}=2C_{n-1}^{(6)}-C_{n-2}^{(6)}+6}$.
4. Некоторые центрированные шестиугольные числа являются простыми^[10]: 7, 19, 37, 61, 127 … (последовательность A002407 в OEIS).

${\displaystyle n}$-е по порядку центрированное семиугольное число задаётся формулой ${\textstyle {\frac {7n^{2}-7n+2}{2}}}$. Его можно также вычислить умножением треугольного числа ${\displaystyle (n-1)}$ на 7 с добавлением 1.

Несколько первых центрированных семиугольных чисел:

1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, 547, 638, 736, 841, 953 …, ${\textstyle {\frac {7n^{2}-7n+2}{2}}}$ … (последовательность A069099 в OEIS).

Чётность центрированных семиугольных чисел меняется в цикле нечётный-чётный-чётный-нечётный.

Некоторые центрированные семиугольные числа являются простыми^[10]:

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697 … (последовательность A144974 в OEIS).

Существуют также центрированные семиугольные числа, входящие в пары простых чисел-близнецов:

43, 71, 197, 463, 1933, 5741, 8233, 9283, 11173, 14561, 34651 … (последовательность A144975 в OEIS).

${\displaystyle n}$-е по порядку центрированное восьмиугольное число задаётся формулой ${\displaystyle (2n-1)^{2}=4n^{2}-4n+1}$.

Несколько первых центрированных восьмиугольных чисел:

1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089.

Некоторые свойства^[43]:

1. Все центрированные восьмиугольные числа нечётны, и их последняя десятичная цифра меняется в цикле 1-9-5-9-1.
2. Центрированное восьмиугольное число совпадает с классическим квадратным числом с нечётным номером: ${\displaystyle C_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(4)}.}$ Другими словами, нечётное число является центрированным восьмиугольным числом тогда и только тогда, когда оно является квадратом целого числа.
3. Из предыдущего свойства следует, что все центрированные восьмиугольные числа, кроме 1, составные.

${\displaystyle n}$-е по порядку центрированное девятиугольное число определяется общей формулой ${\displaystyle {\frac {(3n-2)(3n-1)}{2}}}$.

Умножая ${\displaystyle (n-1)}$-ое треугольное число на 9 и добавляя 1, получим ${\displaystyle n}$-ое центрированное девятиугольное число, но имеется и более простая связь с треугольными числами — каждое третье треугольное число (1-е, 4-е, 7-е и т. д.) также является центрированным девятиугольным числом, и так можно получить все центрированные девятиугольные числа. Формальная запись: ${\displaystyle C_{n}^{(9)}=P_{3n-2}^{(3)}}$.

Первые центрированные девятиугольные числа:

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946 … (последовательность A060544 в OEIS).

За исключением 6, все чётные совершенные числа являются также центрированными девятиугольными числами. В 1850-м году математик-любитель Фредерик Поллок высказал предположение, которое до сих пор не доказано и не опровергнуто, что любое натуральное число есть сумма максимум одиннадцати центрированных девятиугольных чисел^[44].

Из общей формулы следует, что все центрированные девятиугольные числа, кроме 1, составные.

${\displaystyle n}$-е по порядку центрированное десятиугольное число задаётся формулой ${\displaystyle 5(n^{2}-n)+1}$.

Первые представители центрированных десятиугольных чисел:

1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781, 911, 1051 … ${\displaystyle 5(n^{2}-n)+1}$ (последовательность A062786 в OEIS).

Подобно другим k-угольным числам, ${\displaystyle n}$-ое центрированное десятиугольное число можно вычислить, умножая ${\displaystyle (n-1)}$-ое треугольное число на ${\displaystyle k}$, в нашем случае 10, затем добавляя 1. Как следствие, центрированные десятиугольные числа могут быть получены просто добавлением 1 к десятичному представлению числа. Таким образом, все центрированные десятиугольные числа нечётны и всегда оканчиваются на 1 в десятичном представлении.

Часть центрированных десятиугольных чисел являются простыми, например:

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251, 3511, 4651, 5281… (последовательность A090562 в OEIS).

Некоторые центрированные многоугольные числа совпадают с классическими, например: ${\displaystyle 1,\;10,\;25,\;51}$; для краткости будем называть такие многоугольные числа двойными.

1. Двойные числа с общим параметром ${\displaystyle k}$ (число углов): имеет место тождество^[45]:

${\displaystyle C_{k}^{(k)}=P_{k+1}^{(k)}\quad }$.

2. Двойные треугольные числа с разными ${\displaystyle k.}$ Пример: ${\displaystyle 1,\;10,\;136,\;1891,\;26335\dots }$ (последовательность A128862 в OEIS). Для их нахождения надо решить диофантово уравнение:

${\displaystyle m^{2}+m=3n^{2}-3n+2,}$ тогда ${\displaystyle P_{m}^{(3)}=C_{n}^{(3)}}$. Некоторые решения:

${\displaystyle m=1,\;4,\;16,\;61,\;229\dots }$ (последовательность A133161 в OEIS), соответственно:

${\displaystyle n=1,\;3,\;10,\;36,\;133\dots }$ (последовательность A102871 в OEIS).

3. Классические квадратные, являющиеся центрированными треугольными числами. Их определяет диофантово уравнение:

${\textstyle m^{2}={\frac {3n^{2}-3n+2}{2}}.\quad }$ Тогда ${\displaystyle C_{m}^{(3)}=P_{n}^{(4)}}$.

Решения:

${\displaystyle m=1,\;2,\;8,\;19,\;79\dots }$ (последовательность A129445 в OEIS), соответственно ${\displaystyle n=1,2,7,16,65\dots }$

Первые такие числа: ${\displaystyle 1,\;4,\;64,\;361,\;6241\dots }$

4. Классические треугольные, являющиеся центрированными шестиугольными числами. Первые такие числа: ${\displaystyle 1,\;91,\;8911,\;873181,\;85562821\dots }$ (последовательность A006244 в OEIS). Их определяет диофантово уравнение:

${\displaystyle {\frac {m(m+1)}{2}}=3n^{2}+3n+1.\quad }$ Тогда ${\displaystyle P_{m}^{(3)}=C_{n+1}^{(6)}}$.

Решения:

${\displaystyle m=1,13,133,1321,13081\dots }$ (последовательность A031138 в OEIS);

${\displaystyle n=0,\;5,\;54,\;539,\;5340\dots }$ (последовательность A087125, в OEIS).

5. Классические квадратные, являющиеся центрированными шестиугольными числами. Первые такие числа: ${\displaystyle 1,\;169,\;32761,\;6355441,\;1232922769\dots }$ (последовательность A006051 в OEIS). Их определяет диофантово уравнение:

${\displaystyle m^{2}=3n^{2}+3n+1.\quad }$ Тогда ${\displaystyle P_{m}^{(4)}=C_{n+1}^{(6)}}$.

Решения:

${\displaystyle m=1,\;13,\;181,\;2521,\;35113\dots }$ (последовательность A001570 в OEIS);

${\displaystyle n=0,\;7,\;104,\;1455,\;20272\dots }$ (последовательность A001921, в OEIS).

Наряду с рассмотренными выше фигурными числами для плоских фигур, можно определить пространственные или даже многомерные их аналоги. Уже античные математики исследовали тетраэдральные и квадратные пирамидальные числа. Несложно определить числа, связанные с пирамидами, в основании которых лежит любой другой многоугольник, например:

• Пятиугольное пирамидальное число^[англ.].
• Шестиугольное пирамидальное число^[англ.].
• Семиугольное пирамидальное число^[англ.].

Другие разновидности пространственных фигурных чисел связаны с классическими многогранниками.

Пирамидальные числа определяются следующим образом:

${\displaystyle n}$-е по порядку k-угольное пирамидальное число ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}}$ есть сумма первых ${\displaystyle n}$ плоских фигурных чисел с тем же числом углов ${\displaystyle k}$: ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}=P_{1}^{(k)}+P_{2}^{(k)}+P_{3}^{(k)}+\dots +P_{n}^{(k)}}$.

Геометрически пирамидальное число ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}}$ можно представить как пирамиду из ${\displaystyle n}$ слоёв (см. рисунок), каждый из которых содержит от 1 (верхний слой) до ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ (нижний) шаров.

По индукции нетрудно доказать общую формулу для пирамидального числа, известную ещё Архимеду^[46]:

${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}={\frac {n(n+1)((k-2)n-k+5)}{6}}}$.

(ОПФ)

Правую часть этой формулы можно также выразить через плоские многоугольные числа:

${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n-k+5}{3}}P_{n}^{(3)}={\frac {n+1}{6}}(2P_{n}^{(k)}+n)}$.

Существует трёхмерный аналог формулы Никомаха для пирамидальных чисел^[47]:

${\displaystyle \Pi _{n}^{(k+1)}=\Pi _{n}^{(k)}+\Pi _{n-1}^{(3)}}$.

Производящая функция пирамидальных чисел имеет вид^[48]:

${\displaystyle f(x)={\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{4}}};\quad |x|<1}$.

Треугольные пирамидальные числа, называемые также тетраэдральными — это фигурные числа, которые представляют тетраэдр, то есть пирамиду, в основании которой лежит треугольник. Согласно приведенному выше общему определению пирамидальных чисел, ${\displaystyle n-}$е по порядку тетраэдральное число определяется как сумма первых ${\displaystyle n}$ треугольных чисел:

${\displaystyle \Pi _{n}^{(3)}=T_{1}+T_{2}+\dots +T_{n}}$

Общая формула для тетраэдрального числа: ${\displaystyle \Pi _{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$.

Несколько первых тетраэдральных чисел:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969 … (последовательность A000292 в OEIS).

Интересно, что пятое число равно сумме всех предыдущих.

Существует трёхмерный аналог формулы Баше де Мезириака, а именно разложение произвольного пирамидального числа по тетраэдральным^[47]:

${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}=\Pi _{n}^{(3)}+(k-3)\Pi _{n-1}^{(3)}}$.

Пять тетраэдральных чисел одновременно являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):

1, 10, 120, 1540, 7140.

Только три тетраэдральных числа являются квадратными числами (последовательность A003556 в OEIS):

${\displaystyle 1^{2}=1}$, ${\displaystyle 2^{2}=4}$, ${\displaystyle 140^{2}=19\,600}$.

Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более пяти тетраэдральных чисел. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов^[49][50].

Квадратные пирамидальные числа часто кратко называют просто пирамидальными. Для них пирамида имеет квадратное основание. Начальная последовательность:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819… (последовательность A000330 в OEIS).

Общая формула для квадратного пирамидального числа: ${\displaystyle \Pi _{n}^{(4)}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$.

Квадратное пирамидальное число ${\displaystyle \Pi _{n}^{(4)}}$ также выражает общее количество квадратов^[51] в квадратной сетке ${\displaystyle n\times n}$.

Между квадратными и треугольными пирамидальными числами существует следующая зависимость^[52]:

${\displaystyle 4\Pi _{n}^{(4)}=\Pi _{2n}^{(3)}}$.

Выше было отмечено, что сумма последовательных треугольных чисел есть квадратное число; аналогично сумма последовательных тетраэдральных чисел есть квадратное пирамидальное число^[52]: ${\displaystyle \Pi _{n}^{(4)}=\Pi _{n}^{(3)}+\Pi _{n-1}^{(3)}}$.

По аналогии с квадратными можно ввести «кубические числа» ${\displaystyle Q_{n}=n^{3},}$ а также числа, соответствующие другим правильным и неправильным многогранникам — например, платоновым телам:

• Октаэдральное число
• Додекаэдральное число
• Икосаэдральное число

Предусмотрены также их центрированные варианты.

Кубические числа ${\displaystyle Q_{n}}$ представляют собой произведение трёх одинаковых натуральных чисел и имеют общий вид ${\displaystyle Q_{n}=n^{3}.}$ Начальные значения:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000 . . . (последовательность A000578 в OEIS).

Кубическое число можно выразить как разность квадратов последовательных треугольных чисел^[53]:

${\displaystyle Q_{n}=(T_{n})^{2}-(T_{n-1})^{2}}$, ${\displaystyle n\geqslant 2}$.

Следствие: сумма первых ${\displaystyle n}$ кубических чисел равна квадрату ${\displaystyle n}$-го треугольного числа:

${\displaystyle Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+\dots +Q_{n}=(T_{n})^{2}}$.

Ра�