Herons formel anger sambandet mellan en godtycklig triangels area och dess sidor a , b , c samt semiperimetern (halva omkretsen) s enligt[ 1]
A r e a = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle \ Area={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}} där alltså
s = 1 2 ( a + b + c ) {\displaystyle \ s={\frac {1}{2}}\left(a+b+c\right)} Formelns namn kommer från den grekiske matematikern Heron , men formeln upptäcktes troligen inte av honom, utan av Arkimedes .[ 2]
Herons formel för trianglar är ett specialfall av en mer generell identitet för cykliska fyrhörningar . Genom att nyttja Herons formel och den aritmetiska-geometriska olikheten kan man bevisa den isoperimetriska egenskapen för liksidiga trianglar.
Låt a , b , c {\displaystyle a,b,c} γ {\displaystyle \gamma } c {\displaystyle c} cosinussatsen gäller
cos γ = a 2 + b 2 − c 2 2 a b {\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}} Detta ger (via trigonometriska ettan ):
sin γ = 1 − cos 2 γ = 4 a 2 b 2 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 4 a 2 b 2 = 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 2 a b {\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\sqrt {{\frac {4a^{2}b^{2}}{4a^{2}b^{2}}}-{\frac {(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}b^{2}}}}}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}} Triangelns höjd mot basen a {\displaystyle a} b sin ( γ ) {\displaystyle b\sin(\gamma )} konjugatregeln och kvadreringsreglerna ):
A r e a = 1 2 ( basen ) ( höjden ) = 1 2 a b sin γ = 1 4 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 använd konjugatregeln: x 2 − y 2 = ( x − y ) ( x + y ) , med 2 a b = x = 1 4 ( 2 a b − ( a 2 + b 2 − c 2 ) ) ( 2 a b + ( a 2 + b 2 − c 2 ) ) 2 a b − ( a 2 + b 2 − c 2 ) = c 2 − ( a 2 + b 2 − 2 a b ) och 2 a b + ( a 2 + b 2 − c 2 ) = ( a 2 + b 2 + 2 a b ) − c 2 använd sedan kvadreringsreglerna: x 2 + y 2 − 2 x y = ( x − y ) 2 och x 2 + y 2 + 2 x y = ( x + y ) 2 = 1 4 ( c 2 − ( a − b ) 2 ) ⋅ ( ( a + b ) 2 − c 2 ) använd konjugatregeln (två gånger!): = 1 4 ( c − ( a − b ) ) ( c + ( a − b ) ) ⋅ ( ( a + b ) − c ) ( ( a + b ) + c ) = ( c − ( a − b ) ) ( c + ( a − b ) ) ( ( a + b ) − c ) ( ( a + b ) + c ) 16 = ( c − ( a − b ) ) 2 ( c + ( a − b ) ) 2 ( ( a + b ) − c ) 2 ( ( a + b ) + c ) 2 = ( b + c − a ) 2 ( a + c − b ) 2 ( a + b − c ) 2 ( a + b + c ) 2 = ( a + b + c ) 2 ( b + c − a ) 2 ( a + c − b ) 2 ( a + b − c ) 2 b + c − a = a + b + c − 2 a = 2 s − 2 a etcetera ger: = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) . {\displaystyle {\begin{aligned}Area&={\frac {1}{2}}({\mbox{basen}})({\mbox{höjden}})\\&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&\quad {\scriptstyle {\text{använd konjugatregeln:}}\ x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)\ {\text{, med}}\ 2ab=x}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&\quad {\scriptstyle 2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})=c^{2}-(a^{2}+b^{2}-2ab)\ {\text{och}}\ 2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2})=(a^{2}+b^{2}+2ab)-c^{2}}\\&\quad {\scriptstyle {\text{använd sedan kvadreringsreglerna:}}\ x^{2}+y^{2}-2xy=(x-y)^{2}\ {\text{och}}\ x^{2}+y^{2}+2xy=(x+y)^{2}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})\cdot ((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&\quad {\scriptstyle {\text{använd konjugatregeln (två gånger!):}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c-(a-b))(c+(a-b))\cdot ((a+b)-c)((a+b)+c)}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(c-(a-b))}{2}}{\frac {(c+(a-b))}{2}}{\frac {((a+b)-c)}{2}}{\frac {((a+b)+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&\quad {\scriptstyle b+c-a=a+b+c-2a=2s-2a\ {\text{etcetera ger:}}}\\&={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.\end{aligned}}} 
French
Deutsch
