Trigonometrik fonksiyonların integralleri - Vikipedi

Bu maddenin veya maddenin bir bölümünün gelişebilmesi için alakalı konuda uzman kişilere gereksinim duyulmaktadır. Ayrıntılar için lütfen tartışma sayfasını inceleyin veya yeni bir tartışma başlatın. Konu hakkında uzman birini bulmaya yardımcı olarak ya da maddeye gerekli bilgileri ekleyerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz. (Eylül 2023)

Aşağıda integrallerin (ters türevlerin) bir listesi verilmiştir. trigonometrik fonksiyonların fonksiyonları). Hem üstel hem de trigonometrik fonksiyonları içeren ters türevler için Üstel fonksiyonların integralleri bölümüne bakınız. Ters türev fonksiyonların tam listesi için İntegrallerin listesi bölümüne bakınız. Trigonometrik fonksiyonları içeren özel ters türevler için Trigonometrik integral bölümüne bakınız.^[1]

Genel olarak, eğer ${\displaystyle \sin x}$ fonksiyonu herhangi bir trigonometrik fonksiyon ise ve ${\displaystyle \cos x}$ onun türevi ise,

$${\displaystyle \int a\cos nx\,dx={\frac {a}{n}}\sin nx+C}$$

Tüm formüllerde a sabitinin sıfır olmadığı varsayılır ve C integral sabiti anlamına gelir.

${\displaystyle \int \sin ax\,dx=-{\frac {1}{a}}\cos ax+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{2}{ax}\,dx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{3}{ax}\,dx={\frac {\cos 3ax}{12a}}-{\frac {3\cos ax}{4a}}+C}$

${\displaystyle \int x\sin ^{2}{ax}\,dx={\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {x}{4a}}\sin 2ax-{\frac {1}{8a^{2}}}\cos 2ax+C}$

${\displaystyle \int x^{2}\sin ^{2}{ax}\,dx={\frac {x^{3}}{6}}-\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax-{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C}$

${\displaystyle \int x\sin ax\,dx={\frac {\sin ax}{a^{2}}}-{\frac {x\cos ax}{a}}+C}$

${\displaystyle \int (\sin b_{1}x)(\sin b_{2}x)\,dx={\frac {\sin((b_{2}-b_{1})x)}{2(b_{2}-b_{1})}}-{\frac {\sin((b_{1}+b_{2})x)}{2(b_{1}+b_{2})}}+C\qquad {\mbox{(}}|b_{1}|\neq |b_{2}|{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int \sin ^{n}{ax}\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}ax\cos ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ax}}=-{\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}ax}}={\frac {\cos ax}{a(1-n)\sin ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}n>1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\sin ax\,dx&=-{\frac {x^{n}}{a}}\cos ax+{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\cos ax\,dx\\&=\sum _{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k+1}{\frac {x^{n-2k}}{a^{1+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k)!}}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k-1)!}}\sin ax\\&=-\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{n-k}}{a^{1+k}}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\cos \left(ax+k{\frac {\pi }{2}}\right)\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{ için)}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x^{n}}}\,dx=-{\frac {\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\cos ax}{x^{n-1}}}\,dx}$

${\displaystyle \int {\sin {\mathrm {(} }{ax}^{2}\mathrm {+} {bx}\mathrm {+} {c}{\mathrm {)} }{dx}}\mathrm {=} \left\{{\begin{aligned}&{{\sqrt {a}}{\sqrt {\frac {\mathit {\pi }}{2}}}\cos \left({\frac {{b}^{2}\mathrm {-} {4}{ac}}{4a}}\right){S}\left({\frac {{2}{ax}\mathrm {+} {b}}{\sqrt {{2}{a}{\mathit {\pi }}}}}\right)\mathrm {+} {\sqrt {a}}{\sqrt {\frac {\mathit {\pi }}{2}}}\sin \left({\frac {{b}^{2}\mathrm {-} {4}{ac}}{4a}}\right){C}\left({\frac {{2}{ax}\mathrm {+} {b}}{\sqrt {{2}{a}{\mathit {\pi }}}}}\right)\;{to}\;{b}^{2}\mathrm {-} {4}{ac}\;{\mathrm {>} }\;{0}}\\&{{\sqrt {a}}{\sqrt {\frac {\mathit {\pi }}{2}}}\cos \left({\frac {{b}^{2}\mathrm {-} {4}{ac}}{4a}}\right){S}\left({\frac {{2}{ax}\mathrm {+} {b}}{\sqrt {{2}{a}{\mathit {\pi }}}}}\right)\mathrm {-} {\sqrt {a}}{\sqrt {\frac {\mathit {\pi }}{2}}}\sin \left({\frac {{b}^{2}\mathrm {-} {4}{ac}}{4a}}\right){C}\left({\frac {{2}{ax}\mathrm {+} {b}}{\sqrt {{2}{a}{\mathit {\pi }}}}}\right)\;{to}\;{b}^{2}\mathrm {-} {4}{ac}\;{\mathrm {<} }\;{0}}\end{aligned}}\right.\;\;{}\;{a}\diagup \!\!\!\!{\mathrm {=} }{0}{\mathrm {,} }\;{a}{\mathrm {>} }{0}{\mbox{ için}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1\pm \sin ax}}={\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{1+\sin ax}}={\frac {x}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{1-\sin ax}}={\frac {x}{a}}\cot \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{1\pm \sin ax}}=\pm x+{\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {ax}{2}}\right)+C}$

${\displaystyle \int \cos ax\,dx={\frac {1}{a}}\sin ax+C}$

${\displaystyle \int \cos ^{2}{ax}\,dx={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C}$

${\displaystyle \int \cos ^{n}ax\,dx={\frac {\cos ^{n-1}ax\sin ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int x\cos ax\,dx={\frac {\cos ax}{a^{2}}}+{\frac {x\sin ax}{a}}+C}$

${\displaystyle \int x^{2}\cos ^{2}{ax}\,dx={\frac {x^{3}}{6}}+\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax+{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\cos ax\,dx&={\frac {x^{n}\sin ax}{a}}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\sin ax\,dx\\&=\sum _{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k-1)!}}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k}}{a^{1+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k)!}}\sin ax\\&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{\lfloor k/2\rfloor }{\frac {x^{n-k}}{a^{1+k}}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\cos \left(ax-{\frac {(-1)^{k}+1}{2}}{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{n-k}}{a^{1+k}}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\sin \left(ax+k{\frac {\pi }{2}}\right)\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{ için)}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x}}\,dx=\ln |ax|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(ax)^{2k}}{2k\cdot (2k)!}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x^{n}}}\,dx=-{\frac {\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\sin ax}{x^{n-1}}}\,dx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}n>1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cos ax}}={\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{1+\cos ax}}={\frac {x}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {ax}{2}}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{1-\cos ax}}=-{\frac {x}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {ax}{2}}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{1+\cos ax}}=x-{\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{1-\cos ax}}=-x-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C}$

${\displaystyle \int (\cos a_{1}x)(\cos a_{2}x)\,dx={\frac {\sin((a_{2}-a_{1})x)}{2(a_{2}-a_{1})}}+{\frac {\sin((a_{2}+a_{1})x)}{2(a_{2}+a_{1})}}+C\qquad {\mbox{(}}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int \tan ax\,dx=-{\frac {1}{a}}\ln |\cos ax|+C={\frac {1}{a}}\ln |\sec ax|+C}$

${\displaystyle \int \tan ^{2}{x}\,dx=\tan {x}-x+C}$

${\displaystyle \int \tan ^{n}ax\,dx={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}ax-\int \tan ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{q\tan ax+p}}={\frac {1}{p^{2}+q^{2}}}(px+{\frac {q}{a}}\ln |q\sin ax+p\cos ax|)+C\qquad {\mbox{(}}p^{2}+q^{2}\neq 0{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\tan ax\pm 1}}=\pm {\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax\pm \cos ax|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\tan ax\,dx}{\tan ax\pm 1}}={\frac {x}{2}}\mp {\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax\pm \cos ax|+C}$

${\displaystyle \int \sec {ax}\,dx={\frac {1}{a}}\ln {\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|}+C={\frac {1}{a}}\ln {\left|\tan {\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}\right|}+C={\frac {1}{a}}\operatorname {artanh} {\left(\sin {ax}\right)}+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\,dx=\tan {x}+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{3}{x}\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C.}$

${\displaystyle \int \sec ^{n}{ax}\,dx={\frac {\sec ^{n-2}{ax}\tan {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{ax}\,dx\qquad {\mbox{ (}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sec {x}+1}}=x-\tan {\frac {x}{2}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sec {x}-1}}=-x-\cot {\frac {x}{2}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}=\int \tan {x}}$

${\displaystyle \int \csc {ax}\,dx=-{\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|}+C={\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}-\cot {ax}\right|}+C={\frac {1}{a}}\ln {\left|\tan {\left({\frac {ax}{2}}\right)}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\,dx=-\cot {x}+C}$

${\displaystyle \int \csc ^{3}{x}\,dx=-{\frac {1}{2}}\csc x\cot x-{\frac {1}{2}}\ln |\csc x+\cot x|+C=-{\frac {1}{2}}\csc x\cot x+{\frac {1}{2}}\ln |\csc x-\cot x|+C}$

${\displaystyle \int \csc ^{n}{ax}\,dx=-{\frac {\csc ^{n-2}{ax}\cot {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}{ax}\,dx\qquad {\mbox{ (}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\csc {x}+1}}=x-{\frac {2}{\cot {\frac {x}{2}}+1}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\csc {x}-1}}=-x+{\frac {2}{\cot {\frac {x}{2}}-1}}+C}$

${\displaystyle \int \cot ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln |\sin ax|+C}$

${\displaystyle \int \cot ^{2}{x}\,dx=-\cot {x}-x+C}$

${\displaystyle \int \cot ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\cot ^{n-1}ax-\int \cot ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\,dx}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\,dx}{\tan ax-1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C}$

Sinüs ve kosinüsün rasyonel bir fonksiyonu olan bir integral, Bioche kuralları kullanılarak değerlendirilebilir.

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ax\pm \sin ax}}={\frac {1}{a{\sqrt {2}}}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}\pm {\frac {\pi }{8}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos ax\pm \sin ax)^{2}}}={\frac {1}{2a}}\tan \left(ax\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n}}}={\frac {1}{2(n-1)}}\left({\frac {\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)^{n-1}}}+(n-2)\int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n-2}}}\right)}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\cos ax-\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ax-\sin ax}}=-{\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1+\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\tan ^{2}{\frac {ax}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1-\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\cot ^{2}{\frac {ax}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1+\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\cot ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1-\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\tan ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int (\sin ax)(\cos ax)\,dx={\frac {1}{2a}}\sin ^{2}ax+C}$

${\displaystyle \int (\sin a_{1}x)(\cos a_{2}x)\,dx=-{\frac {\cos((a_{1}-a_{2})x)}{2(a_{1}-a_{2})}}-{\frac {\cos((a_{1}+a_{2})x)}{2(a_{1}+a_{2})}}+C\qquad {\mbox{(}}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int (\sin ^{n}ax)(\cos ax)\,dx={\frac {1}{a(n+1)}}\sin ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(}}n\neq -1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int (\sin ax)(\cos ^{n}ax)\,dx=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cos ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(}}n\neq -1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int (\sin ^{n}ax)(\cos ^{m}ax)\,dx&=-{\frac {(\sin ^{n-1}ax)(\cos ^{m+1}ax)}{a(n+m)}}+{\frac {n-1}{n+m}}\int (\sin ^{n-2}ax)(\cos ^{m}ax)\,dx\qquad {\mbox{(}}m,n>0{\mbox{ için)}}\\&={\frac {(\sin ^{n+1}ax)(\cos ^{m-1}ax)}{a(n+m)}}+{\frac {m-1}{n+m}}\int (\sin ^{n}ax)(\cos ^{m-2}ax)\,dx\qquad {\mbox{(}}m,n>0{\mbox{ için)}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ax)}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ^{n}ax)}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ^{n-2}ax)}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ^{n}ax)(\cos ax)}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{(\sin ^{n-2}ax)(\cos ax)}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\,dx}{\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\sin ax+{\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\,dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}-{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\sin ^{2}x}{1+\cos ^{2}x}}\,dx&={\sqrt {2}}\operatorname {arctangant} \left({\frac {\tan x}{\sqrt {2}}}\right)-x\qquad {\mbox{( }}]-{\frac {\pi }{2}};+{\frac {\pi }{2}}[{\mbox{ aralığındaki x için)}}\\&={\sqrt {2}}\operatorname {arctangant} \left({\frac {\tan x}{\sqrt {2}}}\right)-\operatorname {arctangant} \left(\tan x\right)\qquad {\mbox{(bu sefer x, herhangi bir reel sayı olmak üzere}}{\mbox{)}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ax}}=-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-1)}}+\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ax}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ^{m}ax}}={\begin{cases}{\frac {\sin ^{n+1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ^{m-2}ax}}&{\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{ için)}}\\{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ^{m-2}ax}}&{\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{ için)}}\\-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-m)\cos ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ^{m}ax}}&{\mbox{(}}m\neq n{\mbox{ için)}}\end{cases}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\,dx}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\left(\cos ax+\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\,dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\cos ax}{a\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\right)\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\,dx}{\sin ^{m}ax}}={\begin{cases}-{\frac {\cos ^{n+1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n}ax\,dx}{\sin ^{m-2}ax}}&{\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}\\-{\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\,dx}{\sin ^{m-2}ax}}&{\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{ için)}}\\{\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(n-m)\sin ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\,dx}{\sin ^{m}ax}}&{\mbox{(}}m\neq n{\mbox{ için)}}\end{cases}}}$

${\displaystyle \int (\sin ax)(\tan ax)\,dx={\frac {1}{a}}(\ln |\sec ax+\tan ax|-\sin ax)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\,dx}{\sin ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}(ax)+C\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\,dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n+1)}}\tan ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(}}n\neq -1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\,dx}{\sin ^{2}ax}}=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cot ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(}}n\neq -1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\,dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(1-n)}}\tan ^{1-n}ax+C\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int (\sec x)(\tan x)\,dx=\sec x+C}$

${\displaystyle \int (\csc x)(\cot x)\,dx=-\csc x+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\tan ^{m}(cx)}{\cot ^{n}(cx)}}\;dx={\frac {1}{c(m+n-1)}}\tan ^{m+n-1}(cx)-\int {\frac {\tan ^{m-2}(cx)}{\cot ^{n}(cx)}}\;dx\qquad {\mbox{(}}m+n\neq 1{\mbox{ için)}}\,\!}$

Beta fonksiyonunu kullanarak ${\displaystyle B(a,b)}$ yazılabilir:

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {1}{2}}B\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)={\begin{cases}{\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdots {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}},&{\text{ }}n{\text{ çift ise}}\\{\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdots {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}},&{\text{ }}n{\text{ tek ve 1'den fazla ise}}\\1,&{\text{ }}n=1{\text{ ise}}\end{cases}}}$

${\displaystyle \int _{-c}^{c}\sin {x}\,dx=0}$

${\displaystyle \int _{-c}^{c}\cos {x}\,dx=2\int _{0}^{c}\cos {x}\,dx=2\int _{-c}^{0}\cos {x}\,dx=2\sin {c}}$

${\displaystyle \int _{-c}^{c}\tan {x}\,dx=0}$

${\displaystyle \int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\cos ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\,dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(}}n=1,3,5...{\mbox{ için)}}}$

${\displaystyle \int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\sin ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\,dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6(-1)^{n})}{24n^{2}\pi ^{2}}}={\frac {a^{3}}{24}}(1-6{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}\pi ^{2}}})\qquad {\mbox{(}}n=1,2,3,...{\mbox{ için)}}}$