Бета-розподіл — Вікіпедія

Бета-розподіл
Функція ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \beta >0}$
Носій функції	${\displaystyle x\in [0,1]\!}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!}$
Середнє	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}$
Мода	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!}$ для ${\displaystyle \alpha >1,\beta >1}$
Дисперсія	${\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\displaystyle 6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}\!}$
Твірна функція моментів (mgf)	${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$
Характеристична функція	${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!}$
Інформація за Фішером	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\operatorname {var} [\ln X]&\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]\\\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]&\operatorname {var} [\ln(1-X)]\end{bmatrix}}}$

Бе́та-розпо́діл в теорії імовірностей та статистиці — двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів.

Нехай розподіл випадкової величини ${\displaystyle X}$ задаєтся густиною ймовірності ${\displaystyle f_{X}}$, що має вигляд:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}$,

де

• ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$ довільні фіксовані параметри, і
• ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx}$ — бета-функція.

Тоді випадкова величина ${\displaystyle X}$ має бета-розподіл. Пишуть: ${\displaystyle X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$.

Форма графіка густини ймовірності бета-розподілу залежить від вибору параметрів ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$.

• ${\displaystyle \alpha <1,\ \beta <1}$ — графік опуклий і прямує до нескінченності на границях (червона крива);
• ${\displaystyle \alpha <1,\ \beta \geq 1}$ чи ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta >1}$ — графік строго спадний (синя крива)
  • ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta >2}$ — графік строго опуклий;
  • ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta =2}$ — графік є прямою лінією;
  • ${\displaystyle \alpha =1,\ 1<\beta <2}$ — графік строго ввігнутий;
• ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta =1}$ графік збігається з графіком густини стандартного неперервного рівномірного розподілу;
• ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta <1}$ або ${\displaystyle \alpha >1,\ \beta \leq 1}$ — графік строго зростаючий (зелена крива);
  • ${\displaystyle \alpha >2,\ \beta =1}$ — графік строго опуклий;
  • ${\displaystyle \alpha =2,\ \beta =1}$ — графік є прямою линією;
  • ${\displaystyle 1<\alpha <2,\ \beta =1}$ — графік строго ввігнутий;
• ${\displaystyle \alpha >1,\ \beta >1}$ — график унімодальний (пурпурова та чорна криві)

У випадку, коли ${\displaystyle \alpha =\beta }$, густина ймовірності симетична відносно ${\displaystyle 1/2}$ (червона та пурпурова криві), то

${\displaystyle f_{X}(x-1/2)=f_{X}(x+1/2),\;x\in [0,1/2]}$.

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини ${\displaystyle X}$, що має бета-розподіл, мають такий вигляд:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}$,

${\displaystyle \mathrm {D} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$.

Стандартний неперервний рівномірний розподіл є окремим випадком бета-розподілу:

${\displaystyle \mathrm {U} [0,1]\equiv \mathrm {B} (1,1)}$

${\displaystyle X,Y}$ — незалежні гамма-розподілені випадкові величини, причому ${\displaystyle X\sim \mathrm {\Gamma } (\alpha ,1)}$, а ${\displaystyle Y\sim \mathrm {\Gamma } (\beta ,1)}$, то

${\displaystyle {\frac {X}{X+Y}}\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$

Розподіл B(0,0) запропонував Джон Бердон Сандерсон Голдейн,^[1] який зауважив що апріорна ймовірність що представляє повну непевність повинна бути пропорційною до p⁻¹(1−p)⁻¹. Функцію p⁻¹(1−p)⁻¹ можна розглядати як границю бета розподілу в якому обидва параметри наближаються до нуля, α, β → 0. Таким чином, p⁻¹(1−p)⁻¹ розділена на бета-функцію наближається до двоточкового розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака, і нульова між ними. Це приклад розподілу ймовірностей для підкидання монети, якщо одна сторона - нуль, а інша - 1.

Цей розділ потребує доповнення. (червень 2017)

В іншому мовному розділі є повніша стаття Beta distribution(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської. Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська». Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії! Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії. Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті. Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад.

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (вересень 2015)

Це незавершена стаття зі статистики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.