Парадокс роздачі подарунків — Вікіпедія

Парадокс роздачі подарунків — один з найвідоміших парадоксів в теорії ймовірності. Вперше був розглянутий в книзі Ремона де Монмора, опублікованій в Парижі в 1708 р.

Декілька чоловік вирішили зробити один одному подарунки таким чином: кожен з них приносить подарунок, подарунки складаються разом, змішуються і випадково розподіляються серед учасників. Парадоксально, але ймовірність того, що ніхто не отримає свій власний подарунок, менша ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ (крім випадку, коли учасників двоє, і ця ймовірність дорівнює ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$).

Розглянемо компанію з ${\displaystyle n}$ чоловік, тоді кількість подарунків теж рівна n. Подарунки можуть бути розподіленні n! різними способами (це спільне число випадків). Число випадків, при яких ніхто не отримає свій подарунок дорівнює ${\displaystyle {\binom {n}{0}}n!-{\binom {n}{1}}(n-1)!+{\binom {n}{2}}(n-2)!-{\binom {n}{3}}(n-3)!+\ldots (-1)^{n}0!}$ тоді, відношення числа позитивних випадків до загального числа випадків обчислюється за формулою ${\displaystyle p_{n}=1/2!-1/3!+\ldots +(-1)^{n}/n!}$. Тоді ${\displaystyle p_{n}}$ справді менше ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ при ${\displaystyle n>2}$.

Обчислення показують, що якщо збирається щонайменше 6 чоловік, то ${\displaystyle p_{n}\geq {\frac {1}{e}}\geq 0.3679}$ з точністю до чотирьох знаків після крапки. Ймовірність конкретного співпадання дорівнює ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ і прямує до ${\displaystyle 0}$ при збільшенні ${\displaystyle n}$.

Розглянемо дещо іншу проблему. Нехай подарунки розподіляються так, що кожен чоловік може отримати будь-який подарунок з однаковою ймовірністю незалежно від розподілу інших подарунків. Нехай подія ${\displaystyle A}$ полягає в тому, що конкретний чоловік не отримає подарунку. Тоді ймовірність ${\displaystyle A}$ дорівнює ${\displaystyle p_{n}={\frac {(n-1)^{n}}{n^{n}}}=(1-{\frac {1}{n}})^{n}}$ і прямує так само до ${\displaystyle e^{-1}}$. Розглянемо тепер випадок, коли кількість людей ${\displaystyle n}$ не обов'язково збігається з кількістю подарунків ${\displaystyle m}$. В цьому випадку шукана ймовірність дорівнює ${\displaystyle p_{n}={\frac {(n-1)^{m}}{n^{m}}}=(1-{\frac {1}{n}})^{m}}$.

Якщо ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ прямує до ${\displaystyle \lambda }$, при ${\displaystyle n\longrightarrow \infty }$, то ця ймовірність прямує до ${\displaystyle e^{-\lambda }}$. Узагальнюючи цей результат, отримаємо: ймовірність того, що конкретна людина отримає рівно ${\displaystyle k}$ подарунків, прямує до ${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}e^{-1}}{k!}}}$ при ${\displaystyle n\longrightarrow \infty }$. Ми отримали добре відомий розподіл Пуассона. Повертаючись до “парадоксу розподілу подарунків”, отримаємо, що кількість людей, яким дістануться їх власні подарунки, також описується законом Пуассона з параметром ${\displaystyle \lambda }$.

1. Секей Г. Парадоксы теории вероятностей и математической статистики / Г. Секей. — М.: Наука, 1989. — 240с.[1]
2. www.unicyb.kiev.ua/Library/OKZ/Spetskurs.doc