Розмірність Гаусдорфа — Вікіпедія

Розмірність Гаусдорфа — розмірність множини (в метричному просторі) дорівнює ${\displaystyle \liminf \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {\ln(\rho (n))}{\ln(n)}}}$, де ${\displaystyle \rho (n)}$ — мінімальне число множин діаметра ${\displaystyle 1/n}$, якими можна покрити множину. Наприклад, у тривимірному евклідовому просторі Гаусдорфова розмірність скінченної множини рівна нулю, розмірність гладкої кривої — одиниці, розмірність гладкої поверхні — двійці і розмірність множини додатного об'єму — трьом. Для фрактальних множин розмірність Гаусдорфа може набувати дробових значень.

Означення розмірності Гаусдорфа складається з декількох кроків. Нехай ${\displaystyle M}$ — обмежена множина у метричному просторі ${\displaystyle X}$. Наприклад, нехай ${\displaystyle X=R^{n}}$.

Нехай ${\displaystyle \delta >0,\delta \in R}$. Не більш ніж зліченну сім'ю ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ підмножин простору ${\displaystyle X}$ будемо називати ${\displaystyle \delta }$-покриттям множини ${\displaystyle M}$, якщо виконуються такі дві властивості:

• ${\displaystyle M\subset \bigcup _{i\in I}U_{i}}$
• для всіх ${\displaystyle i\in I}$ діаметр ${\displaystyle {\text{diam }}U_{i}<\delta }$ (для всіх ${\displaystyle i\in I}$ діаметр множин ${\displaystyle U_{i}}$ менший за ${\displaystyle \delta }$.

Нехай ${\displaystyle \rho >0}$. Нехай ${\displaystyle \Theta =\{U_{i}\}_{i\in I}}$ — покриття множини ${\displaystyle M}$. Визначимо наступну функцію, яка в деякому плані визначає розмір цього покриття: ${\displaystyle F_{\rho }(\Theta ):=\sum \limits _{i\in I}(\operatorname {diam} \,U_{i})^{\rho }}$. Позначимо через ${\displaystyle M_{\rho }^{\delta }(M)}$ «мінімальний розмір» ${\displaystyle {\delta }}$-покриття множини ${\displaystyle M}$: ${\displaystyle M_{\rho }^{\delta }(M):=\inf(F_{\rho }(\Theta ))}$, де інфімум береться по всіх ${\displaystyle \delta }$-покриттях множини ${\displaystyle M}$. Очевидно, що функція ${\displaystyle M_{\rho }^{\delta }(M)}$ спадає по ${\displaystyle \delta }$. Отже, у неї є скінченна або нескінченна границя при ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$: ${\displaystyle M_{\rho }(M)=\lim \limits _{\delta \rightarrow 0+}M_{\rho }^{\delta }(M)}$. Величина ${\displaystyle M_{\rho }(M)}$ називається ${\displaystyle \rho }$-мірою Гаусдорфа множини ${\displaystyle M}$.

• ${\displaystyle \rho }$-міра Гаусдорфа є борелівською мірою на ${\displaystyle X}$.
• з точністю до множення на коефіцієнт: 1-міра Гаусдорфа для гладких кривих збігається з їх довжиною; 2-міра Гаусдорфа для гладких поверхонь збігається з їх площею; ${\displaystyle d}$- міра Гаусдорфа множин у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ збігається з їхнім ${\displaystyle d}$-мірним об'ємом.
• ${\displaystyle M_{\rho }(M)}$ спадає по ${\displaystyle \rho }$. Більш того для будь-якої множини ${\displaystyle M}$ існує критичне значення ${\displaystyle \rho _{0}}$, таке, що:
  • ${\displaystyle M_{\rho }(M)=0}$ для всіх ${\displaystyle \rho >\rho _{0}}$
  • ${\displaystyle M_{\rho }(M)=+\infty }$ для всіх ${\displaystyle \rho <\rho _{0}}$ Значення ${\displaystyle M_{\rho _{0}}(M)}$ може бути нульовим, скінченним або нескінченним.

Розмірністю Гаусдорфа множини ${\displaystyle M}$ називається число ${\displaystyle \rho _{0}}$ з попереднього пункту.

• Розмірність Гаусдорфа будь-якої множини не більша за нижню та верхню розмірності Мінковського.
• Розмірність Гаусдорфа не більш ніж зліченного об'єднання множин дорівнює максимальній розмірності об'єднаних множин. Зокрема, додавання зліченної множини до будь-якої множини не змінює її розмірності.
• Для самоподібних множин розмірність Гаусдорфа може бути обчислена явно. Неформально, якщо множина розбивається на ${\displaystyle n}$ частин, подібних до вихідної множини з коефіцієнтами ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$, то її розмірність ${\displaystyle s}$ є розв'язком рівняння ${\displaystyle r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1}$. Наприклад, розмірність множини Кантора дорівнює ${\displaystyle \ln 2/\ln 3}$ (розбивається на дві частини, коефіцієнт подібності 1/3), а розмірність трикутника Серпінського — ${\displaystyle \ln 3/\ln 2}$ (розбивається на 3 частини, коефіцієнт подібності 1/2).

• Розмірність Лебега
• Розмірність Мінковського
• Фрактал

• Федер Е. (1991). Фракталы. М.: МИР. с. 254. ISBN 5-03-001712-7.

• Бенуа Мандельброт. Фрактальна геометрія природи.
• А. Морозов. Введение в теорию фракталов.
• Пайтген Х. О. Рихтер П. Х. Красота фракталов.
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах
• Божокин С. В. Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы.
• K.I. Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
• Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7