Розмірність Гаусдорфа — Вікіпедія
Розмірність Гаусдорфа — розмірність множини (в метричному просторі) дорівнює , де — мінімальне число множин діаметра , якими можна покрити множину. Наприклад, у тривимірному евклідовому просторі Гаусдорфова розмірність скінченної множини рівна нулю, розмірність гладкої кривої — одиниці, розмірність гладкої поверхні — двійці і розмірність множини додатного об'єму — трьом. Для фрактальних множин розмірність Гаусдорфа може набувати дробових значень.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Sierpinski_deep.svg/300px-Sierpinski_deep.svg.png)
Означення розмірності Гаусдорфа складається з декількох кроків. Нехай — обмежена множина у метричному просторі . Наприклад, нехай .
Нехай . Не більш ніж зліченну сім'ю підмножин простору будемо називати -покриттям множини , якщо виконуються такі дві властивості:
Нехай . Нехай — покриття множини . Визначимо наступну функцію, яка в деякому плані визначає розмір цього покриття: . Позначимо через «мінімальний розмір» -покриття множини : , де інфімум береться по всіх -покриттях множини . Очевидно, що функція спадає по . Отже, у неї є скінченна або нескінченна границя при : . Величина називається -мірою Гаусдорфа множини .
- -міра Гаусдорфа є борелівською мірою на .
- з точністю до множення на коефіцієнт: 1-міра Гаусдорфа для гладких кривих збігається з їх довжиною; 2-міра Гаусдорфа для гладких поверхонь збігається з їх площею; - міра Гаусдорфа множин у збігається з їхнім -мірним об'ємом.
- спадає по . Більш того для будь-якої множини існує критичне значення , таке, що:
- для всіх
- для всіх Значення може бути нульовим, скінченним або нескінченним.
Розмірністю Гаусдорфа множини називається число з попереднього пункту.
- Розмірність Гаусдорфа будь-якої множини не більша за нижню та верхню розмірності Мінковського.
- Розмірність Гаусдорфа не більш ніж зліченного об'єднання множин дорівнює максимальній розмірності об'єднаних множин. Зокрема, додавання зліченної множини до будь-якої множини не змінює її розмірності.
- Для самоподібних множин розмірність Гаусдорфа може бути обчислена явно. Неформально, якщо множина розбивається на частин, подібних до вихідної множини з коефіцієнтами , то її розмірність є розв'язком рівняння . Наприклад, розмірність множини Кантора дорівнює (розбивається на дві частини, коефіцієнт подібності 1/3), а розмірність трикутника Серпінського — (розбивається на 3 частини, коефіцієнт подібності 1/2).
- Федер Е. (1991). Фракталы. М.: МИР. с. 254. ISBN 5-03-001712-7.
- Бенуа Мандельброт. Фрактальна геометрія природи.
- А. Морозов. Введение в теорию фракталов.
- Пайтген Х. О. Рихтер П. Х. Красота фракталов.
- Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах
- Божокин С. В. Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы.
- K.I. Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
- Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7