Килим Серпінського — Вікіпедія

Ки́лим Серпі́нського — це плоский фрактал, вперше описаний Вацлавом Серпінським в 1916 році^[1]. Килим є одним із прикладів множини Кантора у двох вимірах (у більших вимірах — хмари Кантора). Серпінський продемонстрував, що цей фрактал є універсальною кривою, де будь-який можливий одновимірний граф, спроектований на двовимірну площину, гомеоморфний до підмножини серветки Серпінського. Для кривих, які не можуть бути зображені на двовимірній поверхні без самоперетинань, відповідна універсальна крива — губка Менгера, узагальнення для більших вимірів.

Побудова килима Серпінського починається із квадрата. Квадрат розрізається на 9 конгруентних підквадратів, що утворюють сітку три на три, і центральний підквадрат видаляється. Та ж процедура нескінченно рекурсивно застосовується до вісьмох квадратів, що залишилися. На ілюстрації нижче показані перші ітерації процесу побудови.

Килим Серпінського:
Фаза 0	Фаза 1	Фаза 2	Фаза 3	Фаза 4	Фаза 5

• має розмірність Гаусдорфа ${\displaystyle =\ln 8/\ln 3\approx 1{,}8928}$. Як наслідок, міра Лебега дорівнює нулю.

Тема броуновського руху на килимі Серпінського в останні роки привернула науковий інтерес. Мартін Барлоу й Річард Басс показали, що випадкове блукання на килимі Серпінського поширюється з меншою швидкістю ніж необмежене випадкове блукання на площині. Для останнього випадку середня відстань пропорційна n^1/2 після «n» кроків, а випадкове блукання на дискретному килимі Серпінського дає середню відстань, пропорційну n^1/β для деякого β > 2. Мартін Барлоу й Річард Басс також показали, що це випадкове блукання задовольняє сильнішим нерівностям великого відхилення (так званим «субгаусовим нерівностям») і задовольняє овальній нерівності Харнака, при цьому не задовольняючи параболічній. Існування цього прикладу було відкритою проблемою багато років.

Наступний Java-аплет малює килим Серпінського за допомогою методу, що рекурсивно викликає себе:

 import java.awt.*;  import java.applet.*;    public class SierpinskiCarpet extends Applet {      private Graphics g=null;      private int d0=729; // 3^6        public void init() {          g=getGraphics();          resize(d0,d0);      }        public void paint(Graphics g) {          //  start recursion:          drawSierpinskiCarpet ( 0, 0, getWidth(), getHeight() );      }        private void drawSierpinskiCarpet(int xTL, int yTL, int width, int height) {          if (width>2 && height>2) {              int w=width/3, h=height/3;              g.fillRect ( xTL+w, yTL+h, w, h );              for (int k=0;k<9;k++) if (k!=4) {                  int i=k/3, j=k%3;                  drawSierpinskiCarpet ( xTL+i*w, yTL+j*h, w, h ); // recursion              }          }      }  }

• Трикутник Серпінського
• Губка Менгера
• Крива Серпінського

• Variations on the Theme of Tremas II [Архівовано 28 Вересня 2006 у Wayback Machine.]

Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Sierpinski carpet

п о р Фрактали Характеристики Фрактальна розмірність (Розмірність Гаусдорфа · Розмірність Лебега) · Рекурсія · Самоподібність Найпростіші фрактали Папороть Барнслі · Множина Кантора · Крива дракона · Крива Коха · Губка Менгера · Килим Серпінського · Крива Серпінського · Піраміда Серпінського · Трикутник Серпінського · Крива Пеано · Сітка Аполлонія Дивний атрактор Мультифрактал L-система Крива, що заповнює простір Біфуркаційні фрактали Множина Жуліа · Фрактал Ляпунова · Множина Мандельброта · Басейни Ньютона Випадкові фрактали Броунівський рух · Броунівське дерево · Фрактальний ландшафт · Теорія протікання Люди Георг Кантор · Фелікс Гаусдорф · Гастон Жуліа · Гельґе фон Кох · Поль Леві · Олександр Ляпунов · Бенуа Мандельброт · Льюїс Річардсон · Вацлав Серпінський Пов'язані теми «Яка довжина узбережжя Великої Британії?» (Парадокс берегової лінії)