B-сплайн — Вікіпедія

B-сплайн
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика
CMNS: B-сплайн у Вікісховищі

B-сплайнсплайн-функція, що має мінімальний носій для заданого степеня, гладкості та області визначення.

Фундаментальна теорема стверджує, що довільна сплайн-функція заданого степеня, гладкості і області визначення може бути представлена як лінійна комбінація B-сплайнів того ж степеня і гладкості на тій же області визначення.

Термін B-сплайн запровадив Ісак Яков Шонберг у 1978 році і є скороченням від словосполучення «базисний сплайн». B-сплайни є узагальненням кривих Без'є, вони допомагають уникнути феномену Рунге при високих степенях полінома.

Визначення

[ред. | ред. код]

B-сплайн степеня n з заданими вузлами:

та (m−n) контрольними точками

це параметрична крива, що складена з базисних B-сплайнів степеня n

Базисні B-сплайни визначаються рекурсивними формулами:

при

При однаковій відстані між сусідніми вузлами B-сплайни називаються однорідними, в протилежному випадку — неоднорідними.

Однорідні B-сплайни

[ред. | ред. код]

Для однорідних B-сплайнів, базисні B-сплайни однакового степеня є зміщеними екземплярами однієї функції. Нерекурсивним визначенням базисних B-сплайнів є

де

Кардинальні B-сплайни

[ред. | ред. код]

Визначимо B0 як індикаторну функцію відрізку і Bk рекурсивно через згортку

Bk має носій

Приклади

[ред. | ред. код]

Константні B-сплайни

[ред. | ред. код]

Це найпростіші сплайни. Вони не є навіть неперервними.

Лінійні B-сплайни

[ред. | ред. код]

Лінійні B-сплайни є неперервними, але не диференційовними.

Однорідні квадратичні B-сплайни

[ред. | ред. код]

Є найбільш вживаною формою B-сплайнів.

В матричній формі:

Однорідні кубічні B-сплайни

[ред. | ред. код]


В матричній формі:

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]
  • Hovey, Chad (2022). Formulation and Python Implementation of Bézier and B-Spline Geometry. SAND2022-7702C. (153 pages)
  • Carl de Boor (1978). A Practical Guide to Splines. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-90356-7.
  • Piegl, Les; Tiller, Wayne (1997). The NURBS Book (вид. 2nd.). Springer. ISBN 978-3-540-61545-3.
  • Hartmut Prautzsch; Wolfgang Boehm; Marco Paluszny (2002). Bézier and B-Spline Techniques. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-43761-1.

Посилання

[ред. | ред. код]