Су́ма (лат. summa ) — результат операції додавання .
Наприклад, у виразі
4 + 5 = 9 9 є сумою, а числа 4 і 5 називаються доданками .
Сума позначається знаком + (плюс ).
Для позначення суми членів послідовності використовується символ ∑ {\displaystyle \sum } сигма ), наприклад
∑ i = 1 N a i = a 1 + a 2 + … a N {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots a_{N}} Якщо послідовність нескінченна, то така сума називається числовим рядом і позначається
∑ i = 1 ∞ a i {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}} В алгебраїчний вираз можуть входити члени, знаки яких наперед не визначені. Тобто для певних членів виразу виконується операція додавання, для інших — віднімання. Тому вираз загального вигляду, до якого входять операції додавання і віднімання називають алгебраїчною сумою . Наприклад,
5 − 4 = 5 + ( − 4 ) {\displaystyle 5-4=5+(-4)} a − b = a + ( − b ) {\displaystyle a-b=a+(-b)} Часто для скорочення суму з n доданків a k , a k+1 , …, a N позначають великою грецькою буквою Σ (сигма):
a k + a k + 1 + . . . + a N = ∑ i = k N a i {\displaystyle a_{k}+a_{k+1}+...+a_{N}=\sum _{i=k}^{N}a_{i}}
Це позначення називається визначеною (скінченню) сумою a i по i від k до N . ∑ i = k N a i {\displaystyle \sum _{i=k}^{N}a_{i}} ∑ P ( i ) a i {\displaystyle \sum _{P(i)}^{}a_{i}} P ( i ) {\displaystyle P(i)\ } i {\displaystyle i\ } ∑ P ( i ) a i {\displaystyle \sum _{P(i)}^{}a_{i}} a i {\displaystyle a_{i}\ } i ∈ Z : P ( i ) {\displaystyle i\in Z:P(i)\ }
( ∑ i = k 1 k 2 a i ) ( ∑ j = p 1 p 2 b j ) = ∑ i = k 1 k 2 ( ∑ j = p 1 p 2 a i b j ) {\displaystyle \left(\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}\right)\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}b_{j}\right)=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{i}b_{j}\right)} ∑ i = k 1 k 2 ∑ j = p 1 p 2 a i j = ∑ j = p 1 p 2 ∑ i = k 1 k 2 a i j {\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{ij}=\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{ij}} ∑ i = k 1 k 2 ( a i + b i ) = ∑ i = k 1 k 2 a i + ∑ i = k 1 k 2 b i {\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}+\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}b_{i}} ∑ i = k 1 k 2 z ⋅ a i = z ⋅ ∑ i = k 1 k 2 a i {\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}{z\cdot a_{i}}=z\cdot \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}} Сума арифметичної прогресії : ∑ i = 0 n ( a 0 + b ⋅ i ) = ( n + 1 ) a 0 + a n 2 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}} Сума геометричної прогресії : ∑ i = 0 n a 0 ⋅ b i = a 0 ⋅ 1 − b n + 1 1 − b {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{n+1}}{1-b}}} ∑ i = 0 n ( 1 p ) i = p p − 1 ( 1 − 1 p n + 1 ) , p ≠ 1 , n ≥ 0 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right),\quad p\neq 1,n\geq 0} Чому це так
∑ i = 0 n ( 1 p ) i = ∑ i = 0 n 1 ⋅ 1 p i = 1 ⋅ 1 − ( 1 p ) n + 1 1 − 1 p = p n + 1 − 1 p n + 1 p − 1 p = p n + 1 − 1 p n ( p − 1 ) = p p − 1 ( 1 − 1 p n + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\sum _{i=0}^{n}{1\cdot {\frac {1}{p^{i}}}}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{n+1}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {\frac {p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac {p-1}{p}}}={\frac {p^{n+1}-1}{p^{n}(p-1)}}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right)} ∑ i = 0 n i p i = n p n + 2 − ( n + 1 ) p n + 1 + p ( p − 1 ) 2 , p ≠ 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1} Чому це так
Доведення:
∑ i = 0 n i p i = ∑ i = 1 n i p i = p ⋅ ∑ i = 1 n i p i − 1 = p ⋅ ∑ i = 0 n − 1 ( i + 1 ) p i = p ⋅ ( ∑ i = 0 n − 1 i p i + ∑ i = 0 n − 1 p i ) = p ⋅ ∑ i = 0 n i p i − p ⋅ n p n + p ⋅ 1 − p n 1 − p ⇒ {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ip^{i}=\sum _{i=1}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum _{i=1}^{n}ip^{i-1}=p\cdot \sum _{i=0}^{n-1}(i+1)p^{i}=p\cdot \left(\sum _{i=0}^{n-1}{ip^{i}}+\sum _{i=0}^{n-1}p^{i}\right)=p\cdot \sum _{i=0}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p^{n}}{1-p}}\Rightarrow } ⇒ ( 1 − p ) ∑ i = 0 n i p i = − n p n + 1 ( 1 − p ) + p − p n + 1 1 − p ⇒ ∑ i = 0 n i p i = n p n + 2 − ( n + 1 ) p n + 1 + p ( 1 − p ) 2 {\displaystyle \Rightarrow (1-p)\sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{n+1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p}}\Rightarrow \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}} ∑ i = 0 n p i = ( p − 1 ) ∑ i = 0 n − 1 ( ( n − i ) p i ) + n + 1 , p ≠ 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,\quad p\neq 1} При p = 10 {\displaystyle p=10\ } ∑ i = 0 n 10 i = 9 ⋅ ∑ i = 0 n − 1 ( ( n − i ) 10 i ) + n + 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^{i})+n+1} 1 = 9 ⋅ 0 + 1 , 11 = 9 ⋅ 1 + 2 , 111 = 9 ⋅ 12 + 3 , 1111 = 9 ⋅ 123 + 4 , 11111 = 9 ⋅ 1234 + 5 {\displaystyle 1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234+5} Невизначеною сумою a i по i називається така функція f(i) , яка позначається ∑ i a i {\displaystyle \sum _{i}^{}a_{i}} ∀ i f ( i + 1 ) − f ( i ) = a i + 1 {\displaystyle \forall if(i+1)-f(i)=a_{i+1}}
Якщо знайдена невизначена сума ∑ i a i = f ( i ) {\displaystyle \sum _{i}^{}a_{i}=f(i)} ∑ i = k N a i = f ( N + 1 ) − f ( k ) {\displaystyle \sum _{i=k}^{N}a_{i}=f(N+1)-f(k)}
Латинське слово summa перекладається як «головний пункт», «сутність», «підсумок». З XV століття слово починає вживатися в сучасному сенсі, з'являється дієслово «підсумувати» (1489 рік)[джерело? .
Це слово проникло в багато сучасних мов: в українську, англійську, французьку та інші.
Спеціальний символ для позначення суми (S) першим ввів Ейлер в 1755 році. Як варіант, використовувалася грецька буква Сигма Σ. Пізніше зважаючи на зв'язок понять підсумовування та інтегрування, S також використовували для позначення операції інтегрування .
French
Deutsch
![{\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{ділене}}}{\scriptstyle {\text{дільник}}}}\\[1ex]\scriptstyle {\text{ділене}}\,\div \,{\text{дільник}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4bfe2806b69bf8bfc8bc01b3f35521716a7c97b)
![{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{показник}}]{\scriptstyle {\text{підкореневий вираз}}}}\,=\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e252f6e894ff312ef43dda55aa8930bc706a33a6)
