原根(英語:Primitive root)是一个在数论中的重要概念,特别是整除理论。
對於两个正整数,由欧拉定理可知,存在正整数, 比如说欧拉函数,即小于等于的正整数中与互質的正整数的个数,使得。
由此,在時,定義对模的指数為使成立的最小的正整数。由前知 一定小于等于 ,若,則稱是模的原根。
考慮 ,则 。
设 ,由于
因此有,所以 2 不是模 7 的一个原根。
设 ,由于
因此有 ,所以 3 是模 7 的一个原根[1]。
- 可以证明,如果正整数和正整数 d 满足,则 整除 d。[2]因此整除。在例子中,当时,我们仅需要验证 3 的 2、3 次方模 7 的余数即可,如果其中有一个是1,则3就不是原根。
- 记,则模 m 两两不同余。因此当是模的原根时,构成模 m 的简化剩余系。
- 模有原根的充要條件是,其中是奇質數,是任意正整數。
- 对正整数,如果 a 是模 m 的原根,那么 a 是整数模m乘法群(即加法群 Z/mZ 的可逆元,也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群)Zm×的一个生成元。由于Zm×有 个元素,而它的生成元的个数就是它的可逆元个数,即 个,因此当模有原根時,它有個原根。
m | 模m的原根(有*號的數沒有原根,此時是有最大模m週期的數) | 週期 ( A002322) |
1 | 0 | 1 |
2 | 1 | 1 |
3 | 2 | 2 |
4 | 3 | 2 |
5 | 2, 3 | 4 |
6 | 5 | 2 |
7 | 3, 5 | 6 |
8* | 3, 5, 7 | 2 |
9 | 2, 5 | 6 |
10 | 3, 7 | 4 |
11 | 2, 6, 7, 8 | 10 |
12* | 5, 7, 11 | 2 |
13 | 2, 6, 7, 11 | 12 |
14 | 3, 5 | 6 |
15* | 2, 7, 8, 13 | 4 |
16* | 3, 5, 11, 13 | 4 |
17 | 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14 | 16 |
18 | 5, 11 | 6 |
19 | 2, 3, 10, 13, 14, 15 | 18 |
20* | 3, 7, 13, 17 | 4 |
21* | 2, 5, 10, 11, 17, 19 | 6 |
22 | 7, 13, 17, 19 | 10 |
23 | 5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21 | 22 |
24* | 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 | 2 |
25 | 2, 3, 8, 12, 13, 17, 22, 23 | 20 |
26 | 7, 11, 15, 19 | 12 |
27 | 2, 5, 11, 14, 20, 23 | 18 |
28* | 3, 5, 11, 17, 19, 23 | 6 |
29 | 2, 3, 8, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 21, 26, 27 | 28 |
30* | 7, 13, 17, 23 | 4 |
31 | 3, 11, 12, 13, 17, 21, 22, 24 | 30 |
32* | 3, 5, 11, 13, 19, 21, 27, 29 | 8 |
33* | 2, 5, 7, 8, 13, 14, 17, 19, 20, 26, 28, 29 | 10 |
34 | 3, 5, 7, 11, 23, 27, 29, 31 | 16 |
35* | 2, 3, 12, 17, 18, 23, 32, 33 | 12 |
36* | 5, 7, 11, 23, 29, 31 | 6 |
除了直接運算以外,至今還沒有一個辦法可以找到模特定m時的原根,但假如已知模m有一個原根,則可找出它其他的原根。
模 p 的最小原根 g p 定義為在 1 到 p-1 中最小的原根。數學家已經給出最小原根的上界及下界的一些限制。
伯吉斯(1962)證明對任何 ε>0,存在一個 C>0,使得 。
Emil Grosswald (1981) 證明如果 ,則 。